कक्षा 9 गणित अध्याय 2 | रैखिक बहुपद (Linear Polynomials) Notes in Hindi – आसान नोट्स, NCERT Solutions, उदाहरण, सूत्र एवं महत्वपूर्ण प्रश्न

रैखिक बहुपद का संक्षिप्त परिचय

प्यारे बच्चों, गणित की इस खूबसूरत यात्रा में आपका स्वागत है! राष्ट्रीय शिक्षा नीति (NEP 2020) और राष्ट्रीय पाठ्यचर्या रूपरेखा (NCF 2023) के नए दिशानिर्देशों के तहत आपकी नई एनसीईआरटी पुस्तक “गणित मंजरी” (Ganita Manjari) पेश की गई है । इस पुस्तक का अध्याय 2: रैखिक बहुपदों का परिचय (Introduction to Linear Polynomials) बीजगणित की वह मजबूत नींव है, जिस पर आगे चलकर आपकी कक्षा 10, 11, और 12 की गणितीय इमारत खड़ी होगी ।

यह अध्याय केवल सूत्रों को रटने के बारे में नहीं है, बल्कि यह सीखने के बारे में है कि कैसे गणित हमारे दैनिक जीवन में काम करता है—चाहे वह आपके मोबाइल का रिचार्ज हो, टैक्सी का किराया हो, या पौधों की हर महीने बढ़ने वाली लंबाई हो ।

बीजगणित और बहुपदों का इतिहास तथा महत्व

प्यारे बच्चों, क्या आपने कभी सोचा है कि जब हम अज्ञात राशियों की बात करते हैं, तो हम हमेशा $x, y, z$ का ही उपयोग क्यों करते हैं? यह शुरुआत है बीजगणित (Algebra) की! बीजगणित वास्तव में “अज्ञात को ज्ञात करने का विज्ञान” है। यह गणित की वह जादुई शाखा है जहाँ हम सामान्य संख्याओं के स्थान पर अक्षरों (letters) का उपयोग करके समस्याओं का सामान्यीकरण करते हैं ।

प्राचीन भारतीय गणितज्ञों का महान योगदान

बीजगणित के विकास में भारत का इतिहास बेहद समृद्ध और गौरवशाली रहा है :

• आर्यभट (Aryabhata – जन्म 476 ईस्वी): इन्होंने अपने प्रसिद्ध ग्रंथ आर्यभटीय में अज्ञात राशियों को दर्शाने के लिए वर्णमाला के अक्षरों का उपयोग किया। उन्होंने रैखिक और द्विघाती समीकरणों को हल करने के प्रारंभिक बीजगणितीय सिद्धांत प्रस्तुत किए।
• ब्रह्मगुप्त (Brahmagupta – जन्म 598 ईस्वी): इन्हें बीजगणित का वास्तविक प्रणेता माना जा सकता है। उन्होंने ऋणात्मक संख्याओं (Negative Numbers) और शून्य (Zero) के संक्रियात्मक नियमों को अपनी पुस्तक ब्राह्मस्फुटसिद्धांत में स्पष्ट रूप से लिपिबद्ध किया ।
• भास्कराचार्य (Bhaskaracharya – जन्म 1114 ईस्वी): उनकी कालजयी कृति लीलावती और बीजगणित (जो उनके प्रमुख ग्रंथ सिद्धांतशिरोमणि के हिस्से हैं) में उन्होंने बहुपदों और समीकरणों को हल करने की अत्यंत सुंदर और व्यावहारिक विधियाँ दी हैं।

बहुपदों का आविष्कार क्यों हुआ?

मानव सभ्यता में जब व्यापार, खगोल विज्ञान, और वास्तुकला का विकास हुआ, तो गणितज्ञों ने पाया कि हर बार विशिष्ट संख्याओं के लिए अलग-अलग गणनाएँ करना थका देने वाला काम है। उदाहरण के लिए, यदि हमें किसी भी आकार की वर्गाकार भूमि का घेरा निकालना हो, तो हर बार नया जोड़ करने के बजाय एक सार्वभौमिक नियम बनाना बेहतर है—परिमाप = $4x$ (जहाँ $x$ वर्ग की भुजा है) । इसी तरह के विचारों ने बहुपदों (Polynomials) को जन्म दिया ।

सीखने के लिए इस अध्याय का मुख्य बिंदु।

इस विस्तृत अध्याय को पढ़ने के बाद आप निम्नलिखित अवधारणाओं में पूरी तरह पारंगत हो जाएंगे:

1. चर (Variables) और अचर (Constants) की सटीक पहचान करना ।
2. बीजीय व्यंजकों में पदों (Terms) और उनके गुणांकों (Coefficients) को चुटकियों में ज्ञात करना ।
3. बहुपद (Polynomial) और अन्य बीजीय व्यंजकों के बीच के अंतर को स्पष्ट रूप से समझना ।
4. किसी भी बहुपद की घात (Degree) ज्ञात करना ।
5. रैखिक बहुपद (Linear Polynomial) के मानक रूप $ax + b$ को दैनिक जीवन की परिस्थितियों में लागू करना ।
6. रैखिक प्रतिमानों (Linear Patterns), रैखिक वृद्धि (Linear Growth) और रैखिक ह्रास (Linear Decay) को गणितीय रूप से प्रतिरूपित (Model) करना ।
7. कार्टेशियन समतल (Cartesian Plane) पर रैखिक समीकरणों का आलेख (Graph) बनाना, और प्रवणता (Slope) तथा y-अंतःखंड (y-intercept) को समझना।

अध्याय दिशा-निर्देशन: निर्देशांकों का उपयोग को एक बार और समझने के लिए।

SECTION 1: बीजीय व्यंजकों का परिचय (Introduction to Algebraic Expressions)

परिभाषा (Definition)

जब हम चरों (variables), अचरों (constants) और गणितीय संक्रियाओं (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) को एक साथ मिलाते हैं, तो बनने वाले गणितीय रूप को बीजीय व्यंजक (Algebraic Expression) कहा जाता है ।

मेरा कक्षा वाली व्याख्या (Teacher Explanation)

“क्लास में शांत बैठिए और मेरी बात ध्यान से सुनिए। मान लीजिए आप दुकान पर जाते हैं। दुकानदार कहता है कि एक लाल रंग के सील बंद बॉक्स में पेन हैं, लेकिन वह बॉक्स पर पेन की संख्या नहीं बताता। मान लेते हैं कि उस लाल बॉक्स में $x$ पेन हैं । अब अगर आप ऐसे 4 लाल बॉक्स खरीदते हैं, तो आपके पास कुल कितने पेन होंगे? ज़ाहिर है, $4 \times x = 4x$ पेन! अब सोचिए, अगर दुकानदार खुश होकर आपको 3 पेन अलग से मुफ्त दे दे, तो आपके पास कुल पेनों की संख्या कितनी होगी? उसे हम लिखेंगे $4x + 3$! यही $4x + 3$ एक बीजीय व्यंजक है ।”

[4 लाल बॉक्स: 4x पेन] + [3 मुफ्त पेन] ===> कुल पेन = 4x + 3 (बीजीय व्यंजक)

महत्वपूर्ण विज़ुअल और मेमोरी ट्रिक (Memory Trick)

• बीजीय व्यंजक = (चर $\times$ गुणांक) + अचर
• याद रखने का तरीका: “अक्षर और अंक का मेल, यही है बीजीय व्यंजक का खेल!”

विद्यार्थियों की आम गलतियाँ (Common Mistakes)

बच्चे अक्सर $4x + 3$ को जोड़कर $7x$ लिख देते हैं। ध्यान रखें, $4x$ और $3$ विजातीय पद हैं। इन्हें आपस में कभी नहीं जोड़ा जा सकता! यह वैसा ही है जैसे 4 सेब और 3 संतरों को मिलाकर 7 “सेब-संतरे” नहीं कहा जा सकता।

मिनी क्विज़ (Mini Quiz)

1. व्यंजक $7y – 5$ में चर क्या है? (उत्तर: $y$)
2. क्या $3a + 2b – 9$ एक बीजीय व्यंजक है? (उत्तर: हाँ)

अभ्यास प्रश्न (Practice Questions)

1. “रमन के पास मोहन से 5 गुने से 10 अधिक चॉकलेट हैं।” इसे बीजीय व्यंजक के रूप में लिखिए। (उत्तर: $5x + 10$)

SECTION 2: चर, अचर, गुणांक और पद (Variables, Constants, Coefficients & Terms)

बीजीय व्यंजक के प्रत्येक भाग का अपना एक नाम और काम होता है। आइए इसे बारीकी से समझते हैं:

1. चर (Variable): जिसका मान बदलता रहता है । इसे सामान्यतः अक्षरों ($x, y, z, t$) से दर्शाया जाता है ।
2. अचर (Constant): जिसका मान कभी नहीं बदलता । जैसे संख्याएँ $5, -9, 100$ आदि ।
3. गुणांक (Coefficient): चर के साथ गुणा होने वाली संख्या । जैसे $4x$ में $4$ गुणांक है ।
4. पद (Terms): व्यंजक के वे हिस्से जो ‘+’ या ‘-‘ चिह्नों द्वारा अलग होते हैं । जैसे $4x + 5y + 3$ में तीन पद हैं: $4x$, $5y$, और $3$ ।

तुलनात्मक चार्ट (Comparison Chart)

व्यंजक (Expression)	पद (Terms)	चर (Variables)	गुणांक (Coefficients)	अचर (Constants)
$ 5x – 3 $	$5x$, $ -3 $	$x$	$x$ का गुणांक: $5$	$ -3 $
$ \frac{2}{3}y + 12 $	$ \frac{2}{3}y $, $ 12 $	$y$	$y$ का गुणांक: $ \frac{2}{3} $	$12$
$ -z + 4 $	$ -z $, $ 4 $	$z$	$z$ का गुणांक: $ -1 $	$4$

SECTION 3: एक और दो चर वाले बीजीय व्यंजक तथा उनका सरलीकरण

• एक चर वाले व्यंजक (Univariate): वे व्यंजक जिनमें केवल एक ही वर्णमाला का अक्षर प्रयुक्त होता है । जैसे: $3x^2 + 5x – 2$ ।
• दो चर वाले व्यंजक (Bivariate): जिनमें दो अलग-अलग चर होते हैं । जैसे: $200l + 160w + 50lw$ ।

सजातीय (Like) और विजातीय (Unlike) पद

• सजातीय पद: जिनके चर और उनकी घातें समान हों। जैसे $3x$ और $5x$। इन्हें आपस में जोड़ा या घटाया जा सकता है।
• विजातीय पद: जिनके चर या घातें अलग हों। जैसे $3x$ और $3x^2$। इन्हें जोड़ा नहीं जा सकता।

बीजीय व्यंजकों के सरलीकरण के 20 हल उदाहरण (Solved Examples)

उदाहरण 1:

व्यंजक $5x – 3x + 10x$ को सरल कीजिए।

• हल: चूँकि सभी पद सजातीय हैं:$$ (5 – 3 + 10)x = 12x $$

उदाहरण 2:

सरल करें: $7y + 12 – 3y – 5$

• हल: सजातीय पदों और अचरों को एक साथ रखने पर:$$ (7y – 3y) + (12 – 5) = 4y + 7 $$

उदाहरण 3:

सरल करें: $3a^2 + 5a – 2a^2 + 8a$

• हल: समान घात वाले पदों को जोड़ने/घटाने पर:$$ (3a^2 – 2a^2) + (5a + 8a) = a^2 + 13a $$

उदाहरण 4:

सरल करें: $12z – (4z + 7)$

• हल: कोष्ठक खोलने पर चिह्नों का वितरण होगा:$$ 12z – 4z – 7 = 8z – 7 $$

उदाहरण 5:

सरल करें: $ \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}x + 5 $

• हल: भिन्नों को जोड़ने पर:$$ \left(\frac{1}{3} + \frac{2}{3}\right)x + 5 = \frac{3}{3}x + 5 = x + 5 $$

उदाहरण 6:

सरल करें: $5x + 3y – 2x + 7y$

• हल: अलग-अलग चरों को समूहीकृत करें:$$ (5x – 2x) + (3y + 7y) = 3x + 10y $$

उदाहरण 7:

सरल करें: $2(3t + 4) – 5t$

• हल: कोष्ठक के भीतर गुणा करने पर:$$ 6t + 8 – 5t = (6t – 5t) + 8 = t + 8 $$

उदाहरण 8:

सरल करें: $10 – 3(x – 2)$

• हल: ध्यान रहे कि $-3$ का गुणा कोष्ठक के दोनों पदों से होगा:$$ 10 – 3x + 6 = 16 – 3x $$

उदाहरण 9:

सरल करें: $5x^2 + 2x – 3x^2 – x + 4$

• हल: सजातीय पदों का समूहीकरण:$$ (5x^2 – 3x^2) + (2x – x) + 4 = 2x^2 + x + 4 $$

उदाहरण 10:

सरल करें: $ \frac{3}{4}y + \frac{1}{2}y $

• हल: हर समान करने पर (लघुत्तम समापवर्त्य = 4):$$ \frac{3y + 2y}{4} = \frac{5}{4}y $$

उदाहरण 11:

सरल करें: $4z – [3z – (z – 2)]$

• हल: आंतरिक कोष्ठक हल करें:$$ 4z – [3z – z + 2] = 4z – [2z + 2] $$$$= 4z – 2z – 2 = 2z – 2 $$

उदाहरण 12:

सरल करें: $2.5x + 1.2 – 0.5x + 3.8$

• हल: दशमलव गुणांकों को हल करने पर : $$ (2.5x – 0.5x) + (1.2 + 3.8) $$$$= 2.0x + 5.0 = 2x + 5 $$

उदाहरण 13:

सरल करें: $3(a + b) – 2(a – b)$

• हल: वितरण नियम लागू करने पर:$$ 3a + 3b – 2a + 2b $$$$= (3a – 2a) + (3b + 2b) = a + 5b $$

उदाहरण 14:

सरल करें: $ \frac{x}{2} + \frac{x}{4} $

• हल: लघुत्तम समापवर्त्य 4 लेने पर:$$ \frac{2x + x}{4} = \frac{3x}{4} $$

उदाहरण 15:

सरल करें: $6x^3 – 2x^2 + 3x^3 – x^2$

• हल: घातों के अनुसार समूहीकरण:$$ (6x^3 + 3x^3) + (-2x^2 – x^2) = 9x^3 – 3x^2 $$

उदाहरण 16:

सरल करें: $15 – 5t + 2 – 3t$

• हल: अचरों और चरों को सरल करने पर:$$ (15 + 2) + (-5t – 3t) = 17 – 8t $$

उदाहरण 17:

सरल करें: $u(u + 3) – u^2$

• हल: चर का कोष्ठक के भीतर गुणा करने पर:$$ u^2 + 3u – u^2 = 3u $$

उदाहरण 18:

सरल करें: $4(3 – x) + 2x – 12$

• हल: कोष्ठक खोलने पर:$$ 12 – 4x + 2x – 12 = -2x $$

उदाहरण 19:

सरल करें: $5a – 3b – (2a – 7b)$

• हल: ऋण चिह्न वितरण पर ध्यान दें:$$ 5a – 3b – 2a + 7b = 3a + 4b $$

उदाहरण 20:

सरल करें: $ \frac{2}{5}z – \frac{1}{10}z + 3 $

• हल: भिन्नों को घटाने पर:$$ \left(\frac{4}{10} – \frac{1}{10}\right)z + 3 = \frac{3}{10}z + 3 $$

SECTION 4: बहुपद की परिभाषा और वर्गीकरण (What is a Polynomial?)

परिभाषा (Definition)

एक चर वाला ऐसा बीजीय व्यंजक जिसमें चर की घात (exponent) हमेशा एक ऋणेतर पूर्णांक (Non-negative Integer) यानी एक पूर्ण संख्या (Whole Number: 0, 1, 2, 3…) होती है, बहुपद (Polynomial) कहलाता है ।

अति महत्वपूर्ण नियम (Strict Rule)

यदि किसी व्यंजक में चर की घात ऋणात्मक हो, भिन्न ($1/2, 3/4$) हो, या चर करणी ($\sqrt{}$) के अंदर हो, तो वह बहुपद नहीं होगा!

• बहुपद के उदाहरण: $x^2 + 5x + 1$, $3z + 7$, $y^3 – 2y + 1$
• बहुपद के गैर-उदाहरण:
  • $ \sqrt{x} + 5 \implies x^{1/2} + 5 $ (घात पूर्ण संख्या नहीं है)
  • $ y + \frac{2}{y} \implies y + 2y^{-1} $ (घात ऋणात्मक है)

घातों के आधार पर बहुपदों का वर्गीकरण

बहुपद का नाम	घात (Degree)	मानक रूप (Standard Form)	उदाहरण
अचर बहुपद (Constant)	$0$	$p(x) = c$	$8$, $-9$, $\sqrt{3}$
रैखिक बहुपद (Linear)	$1$	$p(x) = ax + b$ ($a \neq 0$)	$3z + 7$, $2x – 5$
द्विघाती बहुपद (Quadratic)	$2$	$p(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$)	$x^2 + 5x + 1$
त्रिघाती बहुपद (Cubic)	$3$	$p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$	$5y^3 + y^2 + 2y – 1$

SECTION 5: रैखिक बहुपद (Linear Polynomial) का गहन अध्ययन

परिभाषा (Definition)

एक ऐसा बहुपद जिसमें प्रयुक्त चर की अधिकतम घात केवल $1$ होती है, रैखिक बहुपद (Linear Polynomial) कहलाता है ।

व्यापक रूप (Standard/General Form)

$$ p(x) = ax + b $$

जहाँ $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं, तथा $a \neq 0$ । यदि $a = 0$ हो जाए, तो चर लुप्त हो जाएगा और यह केवल एक अचर बहुपद बचेगा!

दैनिक जीवन के उदाहरण (Real Life Analogies)

1. टैक्सी का किराया: ₹25 नियत किराया और ₹15 प्रति किलोमीटर प्रभार। बहुपद: $15n + 25$ ।
2. संवर्द्धन पैटर्न: पौधे की प्रारंभिक ऊँचाई 1.75 फीट और प्रति माह 0.5 फीट की दर से वृद्धि। बहुपद: $1.75 + 0.5t$ ।

रैखिक बहुपदों के निर्माण एवं पहचान पर 30 हल उदाहरण (30 Solved Examples)

उदाहरण 1:

क्या $4x – 5$ एक रैखिक बहुपद है?

• हल: हाँ, क्योंकि चर $x$ की उच्चतम घात 1 है और यह $ax + b$ के रूप में है।

उदाहरण 2:

क्या $y^2 + 3$ रैखिक बहुपद है?

• हल: नहीं, क्योंकि चर $y$ की उच्चतम घात 2 है, अतः यह द्विघाती बहुपद है ।

उदाहरण 3:

क्या $7$ एक रैखिक बहुपद है?

• हल: नहीं, यह अचर बहुपद है क्योंकि इसकी घात 0 है ($7x^0$) ।

उदाहरण 4:

क्या $ \frac{3}{y} – 2 $ रैखिक बहुपद है?

• हल: नहीं, क्योंकि चर हर में है, जिससे घात $-1$ हो जाती है। यह बहुपद ही नहीं है ।

उदाहरण 5:

दिए गए कथन के लिए रैखिक बहुपद बनाइए: “एक मोबाइल सेवा का निश्चित किराया ₹150 है और प्रति मिनट बात करने का शुल्क ₹2 है।”

• हल: मान लीजिए कॉल का समय $m$ मिनट है।अभीष्ट बहुपद: $2m + 150$

उदाहरण 6:

क्या $5 – 3t$ एक रैखिक बहुपद है?

• हल: हाँ, क्योंकि चर $t$ की उच्चतम घात 1 है।

उदाहरण 7:

क्या $ \frac{z}{4} + 12 $ रैखिक बहुपद है?

• हल: हाँ, इसे $ \frac{1}{4}z + 12 $ लिख सकते हैं। चर की घात 1 है।

उदाहरण 8:

क्या $ \sqrt{x} + 3 $ रैखिक बहुपद है?

• हल: नहीं, क्योंकि चर की घात $1/2$ (पूर्ण संख्या नहीं) है। यह बहुपद ही नहीं है ।

उदाहरण 9:

वर्ग की भुजा $s$ है। उसका परिमाप किस प्रकार का बहुपद है?

• हल: परिमाप $ = 4s $। यह घात 1 का रैखिक बहुपद है ।

उदाहरण 10:

क्या $0x + 5$ एक रैखिक बहुपद है?

• हल: नहीं, क्योंकि यहाँ $a = 0$ है। यह सरल होकर केवल अचर बहुपद 5 बचता है ।

उदाहरण 11:

बहुपद $4x – 6x + 3$ को सरल कर पहचानिए।

• हल: सरल करने पर: $ -2x + 3 $। हाँ, यह एक रैखिक बहुपद है।

उदाहरण 12:

क्या $ (x+2)(x-2) – x^2 $ रैखिक है?

• हल: सरल करने पर: $ x^2 – 4 – x^2 = -4 $। यह एक अचर बहुपद है, रैखिक नहीं।

उदाहरण 13:

क्या $3y^3 – y + 5$ रैखिक है?

• हल: नहीं, इसकी उच्चतम घात 3 है (त्रिघाती बहुपद) ।

उदाहरण 14:

क्या $x(x+3) – x^2 + 7$ रैखिक बहुपद है?

• हल: सरल करने पर: $ x^2 + 3x – x^2 + 7 = 3x + 7 $। हाँ, यह रैखिक है।

उदाहरण 15:

एक छात्र प्रति माह ₹250 बचाता है और उसके पास पहले से ₹800 हैं। उसकी कुल बचत का बहुपद बनाइए ।

• हल: मान लीजिए महीनों की संख्या $n$ है। अभीष्ट बहुपद: $250n + 800$

उदाहरण 16:

क्या $z + \sqrt{5}$ रैखिक बहुपद है?

• हल: हाँ, क्योंकि चर की घात 1 है। अचर संख्या का करणी में होना बहुपद की परिभाषा को प्रभावित नहीं करता 。

उदाहरण 17:

व्यंजक $ \frac{2x – 3}{5} $ को मानक रूप में लिखिए।

• हल: $ \frac{2}{5}x – \frac{3}{5} $, जो कि स्पष्ट रूप से रैखिक बहुपद है।

उदाहरण 18:

क्या वृत्त की परिधि का सूत्र $2\pi r$ एक रैखिक बहुपद है यदि $r$ चर हो?

• हल: हाँ, क्योंकि चर $r$ की उच्चतम घात 1 है और $2\pi$ एक वास्तविक संख्या (गुणांक) है।

उदाहरण 19:

क्या $x^2 + 1$ रैखिक बहुपद है?

• हल: नहीं, यह घात 2 का द्विघाती बहुपद है 。

उदाहरण 20:

क्या $ -8.5t $ एक रैखिक बहुपद है?

• हल: हाँ, यह एकपदी (monomial) रैखिक बहुपद है ।

उदाहरण 21:

क्या $ (y+1)^2 – y^2 $ रैखिक बहुपद है?

• हल: सरल करने पर: $ y^2 + 2y + 1 – y^2 = 2y + 1 $। हाँ, यह रैखिक है।

उदाहरण 22:

क्या $-3z$ रैखिक बहुपद है?

• हल: हाँ, चर की घात 1 है।

उदाहरण 23:

दिए गए बहुपद को पहचानें: $ f(x) = \frac{4x+9}{3} $

• हल: इसे $ \frac{4}{3}x + 3 $ लिख सकते हैं। यह रैखिक बहुपद है।

उदाहरण 24:

क्या $x^{-1} + 3$ एक रैखिक बहुपद है?

• हल: नहीं, क्योंकि इसकी घात ऋणात्मक है, अतः यह बहुपद ही नहीं है 。

उदाहरण 25:

क्या $x^2 – x(x-4)$ रैखिक है?

• हल: सरल करने पर: $ x^2 – x^2 + 4x = 4x $। हाँ, यह रैखिक है।

उदाहरण 26:

क्या $3t + 2 – 3(t – 1)$ रैखिक है?

• हल: सरल करने पर: $ 3t + 2 – 3t + 3 = 5 $। नहीं, यह अचर बहुपद है।

उदाहरण 27:

क्या $u + \sqrt{3}$ रैखिक बहुपद है?

• हल: हाँ, क्योंकि चर $u$ की घात 1 है और अचर पद $ \sqrt{3} $ एक वास्तविक संख्या है।

उदाहरण 28:

क्या $4x^{2/2} – 5$ रैखिक है?

• हल: चूँकि $2/2 = 1$, व्यंजक $4x – 5$ बन जाता है। हाँ, यह रैखिक है।

उदाहरण 29:

क्या $ \frac{1}{x-2} $ रैखिक बहुपद है?

• हल: नहीं, यह परिमेय व्यंजक है, बहुपद नहीं 。

उदाहरण 30:

क्या $-y + 10$ रैखिक बहुपद है?

• हल: हाँ, इसकी घात 1 है।

SECTION 6: बहुपद की घात (Degree of Polynomial) ज्ञात करने की विधि

घात (Degree)

किसी बहुपद में चर की जो सबसे बड़ी घात (Highest Power) होती है, उसे ही उस बहुपद की घात कहा जाता है ।

फ्लोचार्ट (Step-by-Step Flowchart Concept)

[बहुपद प्राप्त करें] ──> [यदि आवश्यक हो, तो उसे सरल करें] ──> [सभी पदों में चर की घातें देखें] ──> [सबसे बड़ी घात की पहचान करें] ──> [वही बहुपद की घात होगी]

बहुपद की घात ज्ञात करने के 30 विशिष्ट हल उदाहरण (30 Solved Examples)

उदाहरण 1:

बहुपद $2x^2 – 5x + 3$ की घात ज्ञात कीजिए ।

• हल: चर की उच्चतम घात 2 है, अतः घात = 2 (द्विघाती बहुपद) ।

उदाहरण 2:

बहुपद $y^3 + 2y – 1$ की घात क्या होगी?

• हल: चर की उच्चतम घात 3 है, अतः घात = 3 (त्रिघाती बहुपद) ।

उदाहरण 3:

बहुपद $-9$ की घात ज्ञात कीजिए ।

• हल: यह अचर बहुपद है । इसे $-9x^0$ लिख सकते हैं, अतः घात = 0 。

उदाहरण 4:

बहुपद $4z – 3$ की घात बताइए ।

• हल: चर की उच्चतम घात 1 है, अतः घात = 1 (रैखिक बहुपद) 。

उदाहरण 5:

बहुपद $x^4 – 3x^3 + 6x^2 – 2x + 7$ की घात क्या है?

• हल: चर की उच्चतम घात 4 है, अतः घात = 4 ।

उदाहरण 6:

बहुपद $5t^5 – t^2 + 12$ की घात ज्ञात कीजिए।

• हल: उच्चतम घात = 5, अतः घात = 5।

उदाहरण 7:

बहुपद $u^2(u – 1)$ की घात बताइए।

• हल: पहले कोष्ठक खोलें: $u^3 – u^2$। उच्चतम घात = 3, अतः घात = 3।

उदाहरण 8:

बहुपद $8$ की घात क्या होगी?

• हल: अचर बहुपद होने के कारण घात = 0 ।

उदाहरण 9:

बहुपद $ \frac{x^3 + 3x^2}{x} $ की घात बताइए।

• हल: सरल करने पर: $x^2 + 3x$ (जहाँ $x \neq 0$)। उच्चतम घात = 2, अतः घात = 2।

उदाहरण 10:

बहुपद $2000$ की घात क्या होगी?

• हल: अचर संख्या, अतः घात = 0।

उदाहरण 11:

बहुपद $y(y^2 + 2)$ की घात ज्ञात कीजिए।

• हल: कोष्ठक खोलने पर: $y^3 + 2y$। उच्चतम घात = 3, अतः घात = 3।

उदाहरण 12:

बहुपद $(x+1)(x+2)$ की घात बताइए ।

• हल: गुणा करने पर: $x^2 + 3x + 2$ । उच्चतम घात = 2, अतः घात = 2।

उदाहरण 13:

बहुपद $z^7 – z^4 + z^2 – 1$ की घात क्या है?

• हल: उच्चतम घात = 7, अतः घात = 7।

उदाहरण 14:

बहुपद $-5u$ की घात बताइए।

• हल: चर की घात 1 है, अतः घात = 1।

उदाहरण 15:

बहुपद $3x^2 – 3x^2 + 2x + 1$ की घात ज्ञात कीजिए।

• हल: सरल करने पर: $2x + 1$। उच्चतम घात = 1, अतः घात = 1।

उदाहरण 16:

बहुपद $ \sqrt{5}y + 2 $ की घात क्या है?

• हल: चर की घात 1 है, अतः घात = 1।

उदाहरण 17:

बहुपद $a^3 – b^2$ की घात बताइए यदि $a$ चर है।

• हल: चर $a$ की उच्चतम घात 3 है, अतः घात = 3।

उदाहरण 18:

बहुपद $3x^2 + 0x^3 – 4$ की घात क्या होगी?

• हल: चूँकि $0x^3 = 0$, बहुपद वास्तव में $3x^2 – 4$ है। अतः घात = 2।

उदाहरण 19:

बहुपद $ \frac{4}{7} $ की घात बताइए।

• हल: अचर संख्या, अतः घात = 0।

उदाहरण 20:

बहुपद $(t^2 + 2)^2$ की घात बताइए।

• हल: विस्तार करने पर: $t^4 + 4t^2 + 4$। उच्चतम घात = 4, अतः घात = 4।

उदाहरण 21:

बहुपद $5x – 5x$ की घात क्या होगी?

• हल: सरल करने पर $0$ (शून्य बहुपद)। शून्य बहुपद की घात अपरिभाषित (Not Defined) होती है 。

उदाहरण 22:

बहुपद $y^6 – y^3$ की घात ज्ञात कीजिए।

• हल: उच्चतम घात = 6, अतः घात = 6।

उदाहरण 23:

बहुपद $2 – y^2 – y^3 + 5y^9$ की घात क्या है?

• हल: उच्चतम घात = 9, अतः घात = 9।

उदाहरण 24:

बहुपद $ \frac{1}{3}x^2 – x + 5 $ की घात क्या है?

• हल: उच्चतम घात = 2, अतः घात = 2।

उदाहरण 25:

बहुपद $10 – t^3$ की घात बताइए।

• हल: उच्चतम घात = 3, अतः घात = 3।

उदाहरण 26:

बहुपद $z + z^2 + 7$ की घात बताइए ।

• हल: उच्चतम घात = 2, अतः घात = 2 ।

उदाहरण 27:

बहुपद $2^4 x^2 + 3$ की घात क्या होगी?

• हल: गुणांक $2^4 = 16$ है। चर की घात 2 है, अतः घात = 2।

उदाहरण 28:

बहुपद $x^5 – x^2$ की घात बताइए ।

• हल: उच्चतम घात = 5, अतः घात = 5 ।

उदाहरण 29:

बहुपद $u^4(u^2 + u)$ की घात क्या है?

• हल: सरल करने पर: $u^6 + u^5$। उच्चतम घात = 6, अतः घात = 6।

उदाहरण 30:

बहुपद $-x + x^3$ की घात बताइए ।

• हल: उच्चतम घात = 3, अतः घात = 3 ।

SECTION 7: गुणांक (Coefficients) ज्ञात करने के उदाहरण

गुणांक (Coefficient) वह संख्यात्मक मान है जो चर पद के साथ सीधे गुणा में होता है । आइए भिन्न-भिन्न बहुपदों में विभिन्न घातों के गुणांक निकालने के उदाहरण देखें:

गुणांक ज्ञात करने के 25 हल उदाहरण (25 Solved Examples)

बहुपद: $p(x) = x^4 – 3x^3 + 6x^2 – 2x + 7$ पर विचार करें :

1. $x^4$ का गुणांक क्या है? (उत्तर: 1)
2. $x^3$ का गुणांक क्या है? (उत्तर: -3)
3. $x^2$ का गुणांक क्या है? (उत्तर: 6)
4. $x$ का गुणांक क्या है? (उत्तर: -2)

बहुपद: $q(z) = 4z^3 + 5z^2 – 11$ पर विचार करें : 5. $z^3$ का गुणांक क्या है? (उत्तर: 4) 6. $z^2$ का गुणांक क्या है? (उत्तर: 5) 7. $z$ का गुणांक क्या है? (उत्तर: 0, क्योंकि $z$ का कोई पद उपस्थित नहीं है)

बहुपद: $r(y) = \frac{\pi}{2}y^2 + y$ पर विचार करें : 8. $y^2$ का गुणांक क्या है? (उत्तर: $ \frac{\pi}{2} $) 9. $y$ का गुणांक क्या है? (उत्तर: 1)

विविध बहुपद उदाहरण: 10. बहुपद $\sqrt{2}x – 1$ में $x$ का गुणांक: $\sqrt{2}$

11. बहुपद $-u^3 – u^2 + u$ में $u^3$ का गुणांक: -1

12. बहुपद $-u^3 – u^2 + u$ में $u^2$ का गुणांक: -1

13. बहुपद $-u^3 – u^2 + u$ में $u$ का गुणांक: 1

14. बहुपद $ \frac{3}{5}t – 9 $ में $t$ का गुणांक: $ \frac{3}{5} $

15. बहुपद $(x – 2)^2 \implies x^2 – 4x + 4$ में $x$ का गुणांक: -4

16. बहुपद $-y^2$ में $y^2$ का गुणांक: -1

17. बहुपद $ \frac{x – 5}{3} \implies \frac{1}{3}x – \frac{5}{3} $ में $x$ का गुणांक: $ \frac{1}{3} $

18. बहुपद $\pi z^3 – \sqrt{2}$ में $z^3$ का गुणांक: $\pi$

19. बहुपद $12 – 2y$ में $y$ का गुणांक: -2

20. बहुपद $5y^2 – 3y + 1$ में $y^2$ का गुणांक: 5

21. बहुपद $4t^3 – t^2 + 6$ में $t^3$ का गुणांक: 4

22. बहुपद $4t^3 – t^2 + 6$ में $t^2$ का गुणांक: -1

23. बहुपद $ax + b$ में $x$ का गुणांक: a

24. बहुपद $ax^2 + bx + c$ में $x$ का गुणांक: b

25. बहुपद $ \frac{2x}{3} + 5 $ में $x$ का गुणांक: $ \frac{2}{3} $

SECTION 8: अचर पद (Constant Term) ज्ञात करने के उदाहरण

अचर पद (Constant Term) वह पद होता है जिसमें कोई भी चर उपस्थित नहीं होता । इसे चर की शून्य घात ($x^0$) वाला पद भी कहा जा सकता है ।

अचर पद ज्ञात करने के 20 हल उदाहरण (20 Solved Examples)

1. बहुपद $9x^3 + 5x^2 – 8x – 10$ में अचर पद क्या है? (उत्तर: -10)
2. बहुपद $4z^3 + 5z^2 – 11$ में अचर पद क्या है? (उत्तर: -11)
3. बहुपद $2x^2 – 5x + 3$ में अचर पद क्या है? (उत्तर: 3)
4. बहुपद $y^3 + 2y – 1$ में अचर पद क्या है? (उत्तर: -1)
5. बहुपद $x^2 + 5x + 1$ में अचर पद क्या है? (उत्तर: 1)
6. बहुपद $3z + 7$ में अचर पद क्या है? (उत्तर: 7)
7. बहुपद $-9$ में अचर पद क्या है? (उत्तर: -9)
8. बहुपद $3x$ में अचर पद क्या है? (उत्तर: 0, क्योंकि कोई अचर पद नहीं है)
9. बहुपद $4t^3 – t^2 + 6$ में अचर पद क्या है? (उत्तर: 6)
10. बहुपद $(y – 4)^2 \implies y^2 – 8y + 16$ में अचर पद क्या है? (उत्तर: 16)
11. बहुपद $5y^3 + y^2 + 2y – 1$ में अचर पद क्या है? (उत्तर: -1)
12. बहुपद $u + 9$ में अचर पद क्या है? (उत्तर: 9)
13. बहुपद $ \frac{3}{5}x – \frac{2}{7} $ में अचर पद क्या है? (उत्तर: $ -\frac{2}{7} $)
14. बहुपद $ax + b$ में अचर पद क्या है? (उत्तर: b)
15. बहुपद $ax^2 + bx + c$ में अचर पद क्या है? (उत्तर: c)
16. बहुपद $x(x – 3) \implies x^2 – 3x$ में अचर पद क्या है? (उत्तर: 0)
17. बहुपद $12 – 5u$ में अचर पद क्या है? (उत्तर: 12)
18. बहुपद $\sqrt{3}x – \sqrt{5}$ में अचर पद क्या है? (उत्तर: $ -\sqrt{5} $)
19. बहुपद $-200t + 500$ में अचर पद क्या है? (उत्तर: 500)
20. बहुपद $z^3 + 2z^2 – z$ में अचर पद क्या है? (उत्तर: 0)

SECTION 9: बहुपद का मान और प्रतिस्थापन (Evaluation of Polynomials)

प्रतिस्थापन (Substitution)

जब हम किसी बहुपद में चर के स्थान पर कोई निश्चित संख्या रखते हैं, तो सरल होने के बाद प्राप्त परिणाम उस बिंदु पर बहुपद का मान (Value of Polynomial) कहलाता है ।

मेरा सलाह और आम गलतियाँ (Teacher’s Tip)

“प्यारे बच्चों, ध्यान दीजिए! जब भी आप ऋणात्मक मान (Negative values) जैसे $-1, -2$ का प्रतिस्थापन करते हैं, तो उन्हें हमेशा कोष्ठक (bracket) में रखें। अन्यथा, चिह्नों के गुणा-भाग में भयंकर गलती हो सकती है। जैसे:”

$$ (-2)^2 = 4 \quad \text{जबकि} \quad -2^2 = -4 \quad \text{(यह गलत है!)} $$

बहुपद मूल्यांकन के 30 हल उदाहरण (30 Solved Examples)

उदाहरण 1:

बहुपद $p(x) = 5x – 3$ का मान $x = 0$ पर ज्ञात कीजिए ।

• हल:$$ p(0) = 5(0) – 3 = 0 – 3 = -3 $$

उदाहरण 2:

बहुपद $p(x) = 5x – 3$ का मान $x = -1$ पर ज्ञात कीजिए ।

• हल:$$ p(-1) = 5(-1) – 3 = -5 – 3 = -8 $$

उदाहरण 3:

बहुपद $p(x) = 5x – 3$ का मान $x = 2$ पर ज्ञात कीजिए ।

• हल:$$ p(2) = 5(2) – 3 = 10 – 3 = 7 $$

उदाहरण 4:

बहुपद $p(s) = 7s^2 – 4s + 6$ का मान $s = 0$ पर ज्ञात कीजिए ।

• हल:$$ p(0) = 7(0)^2 – 4(0) + 6 = 0 – 0 + 6 = 6 $$

उदाहरण 5:

बहुपद $p(s) = 7s^2 – 4s + 6$ का मान $s = -3$ पर ज्ञात कीजिए ।

• हल:$$ p(-3) = 7(-3)^2 – 4(-3) + 6 $$$$ = 7(9) + 12 + 6 = 63 + 12 + 6 = 81 $$

उदाहरण 6:

बहुपद $p(s) = 7s^2 – 4s + 6$ का मान $s = 4$ पर ज्ञात कीजिए ।

• हल:$$ p(4) = 7(4)^2 – 4(4) + 6 $$$$ = 7(16) – 16 + 6 = 112 – 16 + 6 = 102 $$

उदाहरण 7:

बहुपद $p(x) = 5x^2 – 3x + 7$ का मान $x = 1$ पर ज्ञात कीजिए ।

• हल:$$ p(1) = 5(1)^2 – 3(1) + 7 = 5 – 3 + 7 = 9 $$

उदाहरण 8:

बहुपद $p(t) = 4t^3 – t^2 + 6$ का मान $t = a$ पर ज्ञात कीजिए ।

• हल:$$ p(a) = 4a^3 – a^2 + 6 $$

उदाहरण 9:

बहुपद $f(x) = -3x + 8$ का मान $x = 3$ पर ज्ञात कीजिए।

• हल:$$ f(3) = -3(3) + 8 = -9 + 8 = -1 $$

उदाहरण 10:

बहुपद $p(x) = x^3 – 3x^2 + 4x – 4$ का मान $x = 2$ पर ज्ञात कीजिए ।

• हल:$$ p(2) = (2)^3 – 3(2)^2 + 4(2) – 4 $$$$ = 8 – 3(4) + 8 – 4 = 8 – 12 + 8 – 4 = 0 $$ अतः, $x = 2$ इस बहुपद का शून्यक है!

उदाहरण 11:

बहुपद $q(y) = y^2 – 5y + 6$ का मान $y = 2$ पर निकालिए ।

• हल:$$ q(2) = (2)^2 – 5(2) + 6 = 4 – 10 + 6 = 0 $$

उदाहरण 12:

बहुपद $p(x) = 3x^2 – 5x + 2$ का मान $x = 2$ पर क्या होगा?

• हल:$$ p(2) = 3(2)^2 – 5(2) + 2 = 12 – 10 + 2 = 4 $$

उदाहरण 13:

बहुपद $g(t) = t^2 – 16$ का मान $t = -4$ पर ज्ञात कीजिए।

• हल:$$ g(-4) = (-4)^2 – 16 = 16 – 16 = 0 $$

उदाहरण 14:

बहुपद $f(x) = \frac{1}{3}x – 5$ का मान $x = 15$ पर क्या होगा?

• हल:$$ f(15) = \frac{1}{3}(15) – 5 = 5 – 5 = 0 $$

उदाहरण 15:

बहुपद $p(z) = z^4 – 2$ का मान $z = -1$ पर निकालिए।

• हल:$$ p(-1) = (-1)^4 – 2 = 1 – 2 = -1 $$

उदाहरण 16:

बहुपद $q(x) = -2x + 20$ का मान $x = 10$ पर निकालिए।

• हल:$$ q(10) = -2(10) + 20 = -20 + 20 = 0 $$

उदाहरण 17:

बहुपद $h(u) = u^2 + 4u + 4$ का मान $u = -2$ पर ज्ञात कीजिए ।

• हल:$$ h(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 4 $$$$= 4 – 8 + 4 = 0 $$

उदाहरण 18:

बहुपद $p(y) = 5y – \pi$ का मान $y = \frac{4}{5}$ पर निकालिए ।

• हल:$$ p\left(\frac{4}{5}\right) = 5\left(\frac{4}{5}\right) – \pi = 4 – \pi $$

उदाहरण 19:

बहुपद $f(x) = x^2 – 3x – 4$ का मान $x = -1$ पर ज्ञात कीजिए।

• हल:$$ f(-1) = (-1)^2 – 3(-1) – 4 = 1 + 3 – 4 = 0 $$

उदाहरण 20:

बहुपद $g(z) = z^3 – 2z$ का मान $z = 3$ पर क्या होगा?

• हल:$$ g(3) = 3^3 – 2(3) = 27 – 6 = 21 $$

उदाहरण 21:

बहुपद $p(t) = -4t + 16$ का मान $t = 4$ पर निकालिए।

• हल:$$ p(4) = -4(4) + 16 = -16 + 16 = 0 $$

उदाहरण 22:

बहुपद $f(x) = 2x^2 + 5x – 3$ का मान $x = \frac{1}{2}$ पर ज्ञात कीजिए।

• हल:$$ f\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 5\left(\frac{1}{2}\right) – 3 $$$$ = 2\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{5}{2} – 3 = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} – 3 = 3 – 3 = 0 $$

उदाहरण 23:

बहुपद $p(u) = u^3 – 6u^2 + 11u – 6$ का मान $u = 2$ पर ज्ञात कीजिए ।

• हल:$$ p(2) = 2^3 – 6(2)^2 + 11(2) – 6 $$$$= 8 – 24 + 22 – 6 = 0 $$

उदाहरण 24:

बहुपद $g(y) = 3y – 12$ का मान $y = 4$ पर क्या होगा?

• हल:$$ g(4) = 3(4) – 12 = 0 $$

उदाहरण 25:

बहुपद $f(x) = 15 – 3x$ का मान $x = 0$ पर ज्ञात कीजिए।

• हल:$$ f(0) = 15 – 3(0) = 15 $$

उदाहरण 26:

बहुपद $p(z) = z^2 – 6z + 9$ का मान $z = 3$ पर ज्ञात कीजिए ।

• हल:$$ p(3) = 3^2 – 6(3) + 9 = 9 – 18 + 9 = 0 $$

उदाहरण 27:

बहुपद $h(x) = \frac{2x – 8}{3}$ का मान $x = 4$ पर ज्ञात कीजिए।

• हल:$$ h(4) = \frac{2(4) – 8}{3} = \frac{0}{3} = 0 $$

उदाहरण 28:

बहुपद $f(t) = t^2 + 3t – 10$ का मान $t = -5$ पर निकालिए ।

• हल:$$ f(-5) = (-5)^2 + 3(-5) – 10 $$$$= 25 – 15 – 10 = 0 $$

उदाहरण 29:

बहुपद $q(x) = x^4 – 81$ का मान $x = 3$ पर ज्ञात कीजिए ।

• हल:$$ q(3) = 3^4 – 81 = 81 – 81 = 0 $$

उदाहरण 30:

बहुपद $p(y) = y^3 + y^2 + y + 1$ का मान $y = -1$ पर ज्ञात कीजिए।

• हल:$$ p(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1 $$$$= -1 + 1 – 1 + 1 = 0 $$

SECTION 10: रैखिक बहुपद बनाम रैखिक समीकरण (Polynomial vs. Equation)

क्लास में बच्चों को अक्सर इन दोनों के बीच भारी भ्रम होता है। आइए इसे हमेशा के लिए स्पष्ट करते हैं :

• रैखिक बहुपद (Linear Polynomial): यह केवल एक गणितीय व्यंजक है। इसमें कोई समता चिह्न ($=$) नहीं होता । उदाहरण के लिए: $2x + 10$ ।
• रैखिक समीकरण (Linear Equation): जब हम एक रैखिक बहुपद को किसी अचर या अन्य व्यंजक के समतुल्य ($=$) रख देते हैं, तो वह समीकरण बन जाता है । उदाहरण के लिए: $2x + 10 = 64$ ।

तुलनात्मक तालिका (Comparison Matrix)

विशेषता (Feature)	रैखिक बहुपद (Linear Polynomial)	रैखिक समीकरण (Linear Equation)
मूल रूप	$ax + b$	$ax + b = c$
समता चिह्न ($=$)	नहीं होता	अनिवार्य रूप से होता है
उद्देश्य	चरों के बीच संबंध दर्शाना	चर का विशिष्ट मान (हल) ज्ञात करना
हल की संख्या	चरों के विभिन्न मानों के लिए अनंत परिणाम हो सकते हैं	एक अद्वितीय (unique) हल प्राप्त होता है

प्रवाह आरेख (Flowchart Diagram Concept)

[रैखिक बहुपद: ax + b] ──(समता चिह्न '=' जोड़ने पर)──> [रैखिक समीकरण: ax + b = c]

SECTION 11: रैखिक प्रतिमान (Linear Patterns – Tile & Matchstick Patterns)

रैखिक प्रतिमान (Linear Pattern)

संख्याओं या आकृतियों का ऐसा अनुक्रम जिसमें लगातार दो पदों के बीच का अंतर सदैव स्थिर (constant) रहता है, रैखिक प्रतिमान कहलाता है ।

प्रकार

1. संवर्द्धन प्रतिमान (Growing Pattern): जहाँ हर चरण में मूल्य बढ़ता है ।
2. ह्रासमान प्रतिमान (Shrinking Pattern): जहाँ प्रत्येक चरण में मूल्य घटता है ।

रैखिक प्रतिमानों के निर्माण एवं विश्लेषण के 30 हल उदाहरण (30 Solved Examples)

उदाहरण 1:

दिए गए टाइल प्रतिमान के लिए नियम ज्ञात कीजिए: $1, 3, 5, 7, 9… $

• हल:
  • अंतर $d = 3 – 1 = 2$ ।
  • सामान्य नियम: $2n – 1$ ।
  • सत्यापन: $n=1 \implies 2(1)-1=1$; $n=5 \implies 2(5)-1=9$ ।

उदाहरण 2:

माचिस की तीलियों से बने षट्भुज (Hexagons) के प्रतिमान पर विचार कीजिए, जहाँ प्रत्येक चरण में एक नया षट्भुज जुड़ता है और एक भुजा साझा होती है ।

• हल:
  • स्टेज 1: 1 षट्भुज = 6 तीलियाँ ।
  • स्टेज 2: 2 षट्भुज = 11 तीलियाँ ।
  • स्टेज 3: 3 षट्भुज = 16 तीलियाँ ।
  • प्रत्येक चरण में स्थिर अंतर = 5 तीलियाँ।
  • सामान्य नियम: $5n + 1$ ।

उदाहरण 3:

बचत प्रतिमान: एक छात्र के गुल्लक में प्रारंभ में ₹500 हैं, और वह प्रत्येक माह ₹150 जमा करता है ।

• हल:
  • महीना 0: ₹500
  • महीना 1: ₹650
  • महीना 2: ₹800
  • रैखिक व्यंजक: $150n + 500$

उदाहरण 4:

दी गई श्रृंखला का सामान्य नियम निकालें: $7, 10, 13, 16… $

• हल: अंतर = 3। प्रथम पद = 7।सामान्य नियम: $3n + 4$

उदाहरण 5:

घटती हुई श्रृंखला के लिए नियम: $100, 95, 90, 85… $

• हल: अंतर = -5। प्रारंभिक पद (0वें दिन) = 100 । सामान्य नियम: $100 – 5n$ ।

उदाहरण 6:

माचिस की तीलियों से बने वर्ग का प्रतिमान:

• स्टेज 1: 4 तीलियाँ
• स्टेज 2: 7 तीलियाँ (1 साझा भुजा)
• स्टेज 3: 10 तीलियाँ
• हल: अंतर = 3।सामान्य नियम: $3n + 1$

उदाहरण 7:

एक रैली में प्रारंभ में 120 सदस्य थे। प्रत्येक घंटे 9 सदस्य समूह छोड़ देते हैं ।

• हल:
  • घंटे 0: 120
  • घंटे 1: 111
  • घंटे 2: 102
  • सामान्य नियम: $120 – 9n$

उदाहरण 8:

एक पुस्तक के कुल पृष्ठ 500 हैं। सरिता प्रतिदिन 20 पृष्ठ पढ़ती है । शेष पृष्ठों का नियम बनाइए ।

• हल:
  • दिन 0: 500
  • दिन 1: 480
  • सामान्य नियम: $500 – 20n$

उदाहरण 9:

शृंखला $ -5, -2, 1, 4, 7… $ का नियम क्या होगा?

• हल: अंतर = 3।सामान्य नियम: $3n – 8$

उदाहरण 10:

शृंखला $15, 22, 29, 36… $ के लिए नियम बनाइए।

• हल: अंतर = 7।सामान्य नियम: $7n + 8$

उदाहरण 11:

घटती शृंखला $50, 42, 34, 26… $ का सामान्य नियम निकालें।

• हल: अंतर = -8।सामान्य नियम: $58 – 8n$

उदाहरण 12:

पानी की टंकी में पानी का स्तर गर्मियों में प्रति माह 0.5 मीटर घटता है । प्रारंभिक स्तर 3 मीटर था ।

• हल:
  • महीना 0: 3 मीटर
  • महीना 1: 2.5 मीटर
  • सामान्य नियम: $3 – 0.5t$

उदाहरण 13:

शृंखला $5, 10, 15, 20… $ का नियम:

• हल: अंतर = 5।सामान्य नियम: $5n$

उदाहरण 14:

क्या शृंखला $3, 6, 12, 24… $ रैखिक प्रतिमान है?

• हल: नहीं, क्योंकि अंतर (3, 6, 12) स्थिर नहीं है। यह गुणोत्तर प्रतिमान है।

उदाहरण 15:

एक ऑनलाइन प्लान का प्रति जीबी शुल्क ₹15 है और कोई निश्चित किराया नहीं है।

• हल:नियम: $15x$ (जहाँ $x$ डेटा की मात्रा है)

उदाहरण 16:

शृंखला $0.5, 1, 1.5, 2… $ के लिए नियम:

• हल: अंतर = 0.5।सामान्य नियम: $0.5n$

उदाहरण 17:

एक कर्मचारी का प्रारंभिक वेतन ₹20,000 प्रति माह है। हर वर्ष उसका वेतन ₹2,000 बढ़ता है।

• हल:सामान्य नियम: $20000 + 2000y$ (जहाँ $y$ वर्षों की संख्या है)

उदाहरण 18:

शृंखला $1, 4, 9, 16… $ का विश्लेषण करें।

• हल: अंतर स्थिर नहीं है (3, 5, 7)। यह द्विघाती प्रतिमान ($n^2$) है, रैखिक नहीं।

उदाहरण 19:

घटती शृंखला $80, 70, 60, 50… $ का नियम:

• हल: अंतर = -10।सामान्य नियम: $90 – 10n$

उदाहरण 20:

एक जिम का मासिक निश्चित शुल्क ₹200 और प्रति घंटा प्रभार ₹50 है ।

• हल: सामान्य नियम: $50x + 200$

उदाहरण 21:

शृंखला $9, 7, 5, 3… $ के लिए नियम:

• हल: अंतर = -2।सामान्य नियम: $11 – 2n$

उदाहरण 22:

शृंखला $10, 15, 20, 25… $ में 26वाँ पद क्या होगा?

• हल: नियम = $5n + 5$।26वाँ पद: $5(26) + 5 = 130 + 5 = 135$

उदाहरण 23:

शृंखला $1, 8, 15, 22… $ के लिए नियम:

• हल: अंतर = 7।सामान्य नियम: $7n – 6$

उदाहरण 24:

शृंखला $-8, -4, 0, 4, 8… $ के लिए नियम:

• हल: अंतर = 4।सामान्य नियम: $4n – 12$

उदाहरण 25:

क्या शृंखला $2, 2, 2, 2… $ रैखिक प्रतिमान है?

• हल: हाँ, यहाँ स्थिर अंतर = 0 है। इसे अचर प्रतिमान कहते हैं।

उदाहरण 26:

एक पौधे की ऊँचाई 1.75 फीट है और यह प्रति माह 0.5 फीट बढ़ता है ।

• हल: सामान्य नियम: $1.75 + 0.5t$

उदाहरण 27:

शृंखला $0.3, 0.6, 0.9, 1.2… $ के लिए नियम:

• हल: अंतर = 0.3।सामान्य नियम: $0.3n$

उदाहरण 28:

एक मोबाइल का मूल्य ₹10,000 है और यह प्रति वर्ष ₹800 घटता है ।

• हल: सामान्य नियम: $10000 – 800t$

उदाहरण 29:

शृंखला $8, 16, 24, 32… $ का नियम:

• हल: अंतर = 8।सामान्य नियम: $8n$

उदाहरण 30:

शृंखला $10, 6, 2, -2… $ का सामान्य नियम:

• हल: अंतर = -4।सामान्य नियम: $14 – 4n$

SECTION 12: रैखिक वृद्धि (Linear Growth)

जब कोई भौतिक राशि समय या किसी अन्य स्वतंत्र चर के साथ एक निश्चित और अपरिवर्तित दर से बढ़ती है, तो इसे रैखिक वृद्धि (Linear Growth) कहते हैं ।

गणितीय रूप

y = mt + c (जहाँ m > 0)

यहाँ $m$ वृद्धि की दर है और $c$ प्रारंभिक मान है ।

रैखिक वृद्धि के 10 हल उदाहरण (10 Solved Examples)

उदाहरण 1:

एक पौधे की ऊँचाई 1.75 फीट है और यह प्रति माह 0.5 फीट बढ़ता है । 8 महीने बाद इसकी ऊँचाई क्या होगी?

• हल:
  • समीकरण: $h(t) = 1.75 + 0.5t$
  • t = 8 पर: h(8) = 1.75 + 0.5(8) = 1.75 + 4 = 5.75 फीट

उदाहरण 2:

एक गाँव की प्रारंभिक जनसंख्या 750 है। हर वर्ष 50 लोग गाँव में आकर बसते हैं । 10 वर्ष बाद जनसंख्या क्या होगी?

• हल:
  • समीकरण: $P(t) = 750 + 50t$
  • t = 10 पर: P(10) = 750 + 50(10) = 750 + 500 = 1250 लोग

उदाहरण 3:

एक कार यात्रा की लागत $C(d) = 100 + 60d$ है, जहाँ $d$ दूरी किमी में है । 20 किमी की यात्रा की लागत निकालिए।

• हल:
  • d = 20 : C(20) = 100 + 60(20) = 100 + 1200 = ₹1300}

उदाहरण 4:

एक टंकी में पहले से 150 लीटर पानी है। एक पंप प्रति मिनट 20 लीटर पानी भरता है। 15 मिनट बाद टंकी में पानी की मात्रा ज्ञात कीजिए।

• हल:
  • समीकरण: $W(t) = 150 + 20t$
  • $t = 15$:\

उदाहरण 5:

एक नवजात शिशु का जन्म के समय वजन 3 किलोग्राम है। यदि वह प्रति सप्ताह 0.25 किलोग्राम बढ़ता है, तो 12 सप्ताह बाद शिशु का वजन क्या होगा?

• हल:
  • समीकरण: $W(w) = 3 + 0.25w$
  • $w = 12$:\

उदाहरण 6:

एक बचत खाते में ₹1,500 जमा हैं। जमाकर्ता प्रति सप्ताह ₹100 बचाता है। 25 सप्ताह बाद कुल राशि क्या होगी?

• हल:
  • समीकरण: $B(w) = 1500 + 100w$
  • $w = 25$:\

उदाहरण 7:

एक कर्मचारी का प्रारंभिक वेतन ₹30,000 प्रति माह है। हर वर्ष उसका वेतन ₹2,500 बढ़ता है। 10 वर्ष बाद उसका वेतन क्या होगा?

• हल:
  • समीकरण: $S(t) = 30000 + 2500t$
  • $t = 10$:\

उदाहरण 8:

एक धातु की छड़ की लंबाई प्रारंभिक रूप से 100 सेमी है। गर्म करने पर इसकी लंबाई प्रति डिग्री सेल्सियस तापमान वृद्धि पर 0.08 सेमी बढ़ती है। तापमान में $50^\circ\text{C}$ की वृद्धि होने पर कुल लंबाई क्या होगी?

• हल:
  • समीकरण: $L(T) = 100 + 0.08T$
  • T = 50: L(50) = 100 + 0.08(50) = 100 + 4 = 104 सेमी

उदाहरण 9:

एक पुस्तकालय में पहले दिन सदस्य संख्या 120 थी। प्रत्येक सप्ताह 15 नए सदस्य जुड़ते हैं। 10 सप्ताह बाद कुल सदस्यों की संख्या कितनी होगी?

• हल:
  • समीकरण: $M(w) = 120 + 15w$
  • w = 10: M(10) = 120 + 15(10) = 120 + 150 = 270 सदस्य

उदाहरण 10:

एक चैनल के शुरू में 10,000 सब्सक्राइबर्स थे। यह प्रति दिन 500 नए सब्सक्राइबर्स अर्जित करता है। 30 दिनों बाद सब्सक्राइबर्स की कुल संख्या क्या होगी?

• हल:
  • समीकरण: $S(d) = 10000 + 500d$
  • $d = 30$:\

SECTION 13: रैखिक ह्रास (Linear Decay)

जब कोई भौतिक राशि समय के सापेक्ष एक निश्चित अपरिवर्तित दर से घटती है, तो उसे रैखिक ह्रास (Linear Decay) कहते हैं ।

गणितीय रूप

$$ y = c – mt \quad (\text{जहाँ } m > 0) $$

यहाँ $m$ ह्रास की दर है और $c$ प्रारंभिक मान है ।

रैखिक ह्रास के 10 हल उदाहरण (10 Solved Examples)

उदाहरण 1:

एक नया मोबाइल फोन ₹10,000 में खरीदा गया। इसका मूल्य हर वर्ष ₹800 घट जाता है । 5 वर्ष बाद फोन का मूल्य क्या होगा?

• हल:
  • समीकरण: $v(t) = 10000 – 800t$
  • t = 5 पर: v(5) = 10000 – 800(5) = 10000 – 4000 = ₹6000

उदाहरण 2:

एक रिचार्ज का प्रीपेड बैलेंस ₹600 है। यह प्रतिदिन ₹15 की दर से घटता है । 20 दिनों बाद शेष बैलेंस कितना होगा?

• हल:
  • समीकरण: $b(x) = 600 – 15x$
  • x = 20 पर: b(20) = 600 – 15(20) = 600 – 300 = ₹300

उदाहरण 3:

एक पानी की टंकी में गर्मियों की शुरुआत में 3 मीटर पानी था । वाष्पीकरण की दर 0.5 मीटर प्रति माह है । कितने महीनों में टंकी खाली हो जाएगी?

• हल:
  • समीकरण: $h(t) = 3 – 0.5t$
  • खाली होने पर $h(t) = 0$:$$ 3 – 0.5t = 0 $$$$\implies 0.5t = 3$$$$ \implies t = \frac{3}{0.5}$$ = 6 महीने

उदाहरण 4:

एक कार की ईंधन टंकी में 60 लीटर पेट्रोल था। लंबी यात्रा पर जाने पर पेट्रोल की खपत 5 लीटर प्रति घंटा है। 9 घंटे की यात्रा के बाद टंकी में कितना ईंधन बचेगा?

• हल:
  • समीकरण: $F(t) = 60 – 5t$
  • $t = 9$ पर:$$ F(9) = 60 – 5(9) = 60 – 45 $$ = 15 लीटर

उदाहरण 5:

एक मरीज के शरीर का तापमान दवा लेने के बाद प्रति घंटे $0.8^\circ\text{F}$ घटता है। यदि प्रारंभिक तापमान $104^\circ\text{F}$ था, तो 4 घंटे बाद उसका तापमान क्या होगा?

• हल:
  • समीकरण: $T(t) = 104 – 0.8t$
  • $t = 4$ पर:\

उदाहरण 6:

एक कोयले की खान में शुरू में 80,000 टन कोयला था। यदि प्रत्येक वर्ष इसमें से 5,000 टन कोयला निकाला जाता है, तो 10 वर्षों बाद कितना कोयला बचेगा?

• हल:
  • समीकरण: $C(t) = 80000 – 5000t$
  • $t = 10$ पर: C(10) = 80000 – 5000(10) = 80000 – 50000 = 30,000 टन

उदाहरण 7:

एक मोमबत्ती की लंबाई शुरू में 25 सेमी थी। जलने पर इसकी लंबाई प्रति घंटे 2 सेमी घटती है। 8 घंटे जलने के बाद मोमबत्ती की लंबाई क्या होगी?

• हल:
  • समीकरण: $L(t) = 25 – 2t$
  • $t = 8$ पर: L(8) = 25 – 2(8) = 25 – 16 = 9 सेमी

उदाहरण 8:

एक हवाई जहाज 10,000 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहा है। नीचे उतरने के लिए वह प्रति मिनट 500 मीटर की स्थिर दर से नीचे आता है। उतरना शुरू करने के 12 मिनट बाद हवाई जहाज की कुल ऊँचाई क्या होगी?

• हल:
  • समीकरण: $H(t) = 10000 – 500t$
  • $t = 12$ पर: H(12) = 10000 – 500(12) = 10000 – 6000 = 4000 मीटर

उदाहरण 9:

एक बर्फ की सिल्ली का वजन शुरू में 100 किलोग्राम था। वह प्रति घंटे 2.5 किलोग्राम की दर से पिघलती है। 20 घंटे बाद सिल्ली का वजन कितना रह जाएगा?

• हल:
  • समीकरण: $W(t) = 100 – 2.5t$
  • $t = 20$ पर:\

उदाहरण 10:

एक बैटरी का चार्ज स्तर प्रारंभिक रूप से $100\%$ है। उपयोग करने पर यह प्रति घंटे $4.5\%$ घटता है। 10 घंटे के निरंतर उपयोग के बाद बैटरी चार्ज का प्रतिशत क्या होगा?

• हल:
  • समीकरण: $B(t) = 100 – 4.5t$
  • $t = 10$ पर:\

SECTION 14: रैखिक संबंधों की स्थापना ($y = ax + b$)

जब हमें दो संबंधित चरों के मानों के युग्म दिए जाते हैं, तो हम उनके बीच रैखिक संबंध स्थापित करने के लिए समीकरण प्रणाली का उपयोग करते हैं ।

रैखिक संबंध स्थापित करने के 25 हल उदाहरण (25 Solved Examples)

उदाहरण 1:

एक छात्र देखता है कि जब उसने 10 जीबी डेटा उपयोग किया, तो उसका मासिक मोबाइल बिल ₹350 था । जब उसने 20 जीबी डेटा उपयोग किया, तो उसका बिल ₹550 आया । यदि संबंध $ y = ax + b $ है, तो $a$ और $b$ का मान ज्ञात कीजिए ।

• हल: मानों को प्रतिस्थापित करने पर :
  • $350 = 10a + b$ — (समीकरण 1)
  • $550 = 20a + b$ — (समीकरण 2) समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर: $$ 200 = 10a \implies a = 20 $$$a = 20$ का मान समीकरण (1) में रखने पर:$$ 350 = 10(20) + b $$$$\implies 350 = 200 + b $$$$\implies b = 150 $$ अभीष्ट संबंध: $y = 20x + 150$

उदाहरण 2:

एक जिम का मासिक बिल उपयोग के घंटों पर निर्भर करता है। 10 घंटे उपयोग करने पर बिल ₹800 आता है और 15 घंटे उपयोग करने पर बिल ₹1100 आता है । यदि संबंध $ y = ax + b $ हो, तो $a$ और $b$ का मान ज्ञात कीजिए ।

• हल:
  • $800 = 10a + b$ — (समीकरण 1)
  • $1100 = 15a + b$ — (समीकरण 2) समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर: $$ 300 = 5a \implies a = 60 $$$a = 60$ का मान समीकरण (1) में रखने पर:$$ 800 = 10(60) + b \implies b = 200 $$ अभीष्ट संबंध: $y = 60x + 200$

उदाहरण 3:

डिग्री सेल्सियस ($^\circ\text{C}$) और डिग्री फ़ारेनहाइट ($^\circ\text{F}$) के बीच संबंध रैखिक है । बर्फ $0^\circ\text{C}$ और $32^\circ\text{F}$ पर पिघलती है, और जल $100^\circ\text{C}$ और $212^\circ\text{F}$ पर उबलता है । यदि संबंध $ C = aF + b $ हो, तो $a$ और $b$ ज्ञात कीजिए ।

• हल:
  • $0 = 32a + b$ — (समीकरण 1)
  • $100 = 212a + b$ — (समीकरण 2) समीकरण (1) से $b = -32a$ । इसे समीकरण (2) में रखने पर : $$ 100 = 212a – 32a $$$$\implies 100 = 180a $$$$\implies a = \frac{100}{180} = \frac{5}{9} $$ अब, $b = -32\left(\frac{5}{9}\right) = -\frac{160}{9}$ । अभीष्ट संबंध: $C = \frac{5}{9}(F – 32)$

उदाहरण 4:

एक लर्निंग प्लेटफॉर्म शुल्क लेता है। 10 डिजिटल लर्निंग मॉड्यूल का बिल ₹400 आता है और 14 मॉड्यूल का बिल ₹500 आता है । यदि संबंध $ y = ax + b $ हो, तो $a$ और $b$ ज्ञात कीजिए ।

• हल:
  • $400 = 10a + b$
  • $500 = 14a + b$ घटाने पर: $$ 4a = 100 \implies a = 25 $$$a = 25$ समीकरण 1 में रखने पर:$$ 400 = 10(25) + b \implies b = 150 $$अभीष्ट संबंध: $y = 25x + 150$

उदाहरण 5:

एक स्प्रिंग की लंबाई लटकाए गए भार पर निर्भर करती है। 2 किलोग्राम भार लटकाने पर लंबाई 12 सेमी और 5 किलोग्राम लटकाने पर लंबाई 18 सेमी हो जाती है। लंबाई ($y$) और भार ($x$) का संबंध निकालें।

• हल:
  • $12 = 2a + b$
  • $18 = 5a + b$घटाने पर:$$ 3a = 6 \implies a = 2 $$$$ 12 = 2(2) + b \implies b = 8 $$संबंध: $y = 2x + 8$

उदाहरण 6:

कार द्वारा तय की गई दूरी और समय का संबंध रैखिक है। 2 घंटे में वह 100 किमी और 5 घंटे में 250 किमी की दूरी तय करती है। संबंध ज्ञात कीजिए।

• हल:
  • $100 = 2a + b$
  • $250 = 5a + b$घटाने पर:$$ 3a = 150 \implies a = 50 $$$$ 100 = 2(50) + b \implies b = 0 $$संबंध: $y = 50x$

उदाहरण 7:

एक कंपनी का निश्चित दैनिक वेतन और कमीशन का संबंध रैखिक है। 5 इकाइयाँ बेचने पर कुल आय ₹1000 और 10 इकाइयाँ बेचने पर आय ₹1500 हो जाती है। संबंध स्थापित करें।

• हल:
  • $1000 = 5a + b$
  • $1500 = 10a + b$घटाने पर:$$ 5a = 500 \implies a = 100 $$$$ 1000 = 5(100) + b \implies b = 500 $$संबंध: $y = 100x + 500$

उदाहरण 8:

एक धातु पिघलाने वाली भट्टी का तापमान समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है। 5 मिनट बाद तापमान $200^\circ\text{C}$ और 15 मिनट बाद $500^\circ\text{C}$ हो जाता है। संबंध ज्ञात करें।

• हल:
  • $200 = 5a + b$
  • $500 = 15a + b$घटाने पर:$$ 10a = 300 \implies a = 30 $$$$ b = 200 – 5(30) = 50 $$संबंध: $y = 30x + 50$

उदाहरण 9:

100 इकाइयाँ बनाने की कुल लागत ₹6000 है और 200 इकाइयाँ बनाने की लागत ₹10000 है। संबंध स्थापित करें।

• हल:
  • $6000 = 100a + b$
  • $10000 = 200a + b$घटाने पर:$$ 100a = 4000 \implies a = 40 $$$$ b = 6000 – 100(40) = 2000 $$संबंध: $y = 40x + 2000$

उदाहरण 10:

एक होटल का रुकने का बिल दिनों के साथ रैखिक है। 3 दिन रुकने का बिल ₹3500 और 7 दिन रुकने का बिल ₹7500 है। संबंध ज्ञात करें।

• हल:
  • $3500 = 3a + b$
  • $7500 = 7a + b$घटाने पर:$$ 4a = 4000 \implies a = 1000 $$$$ b = 3500 – 3(1000) = 500 $$संबंध: $y = 1000x + 500$

उदाहरण 11:

एक मोमबत्ती की लंबाई और जलने के समय का संबंध रैखिक है। 2 घंटे जलने के बाद लंबाई 20 सेमी और 6 घंटे जलने के बाद लंबाई 12 सेमी बचती है। संबंध निकालें।

• हल:
  • $20 = 2a + b$
  • $12 = 6a + b$घटाने पर:$$ -4a = 8 \implies a = -2 $$(ऋणात्मक ढाल ह्रास दर्शाती है)$$ b = 20 – 2(-2) = 24 $$संबंध: $y = -2x + 24$

उदाहरण 12:

पानी की टंकी में रिसाव हो रहा है। 4 घंटे बाद टंकी में 800 लीटर पानी और 10 घंटे बाद 500 लीटर पानी बचता है। संबंध ज्ञात करें।

• हल:
  • $800 = 4a + b$
  • $500 = 10a + b$घटाने पर:$$ -6a = 300 \implies a = -50 $$$$ b = 800 – 4(-50) = 1000 $$संबंध: $y = -50x + 1000$

उदाहरण 13:

एक पुस्तक छपाई का संबंध रैखिक है। 50 प्रतियों की लागत ₹2000 और 150 प्रतियों की लागत ₹5000 है। संबंध ज्ञात करें।

• हल:
  • $2000 = 50a + b$
  • $5000 = 150a + b$घटाने पर:$$ 100a = 3000 \implies a = 30 $$$$ b = 2000 – 50(30) = 500 $$संबंध: $y = 30x + 500$

उदाहरण 14:

सिलेंडर में बची हुई गैस का वजन दिनों के साथ रैखिक रूप से घटता है। 5 दिनों बाद वजन 15 किलोग्राम और 15 दिनों बाद 11 किलोग्राम बचता है। संबंध स्थापित करें।

• हल:
  • $15 = 5a + b$
  • $11 = 15a + b$घटाने पर:$$ -10a = 4 \implies a = -0.4 $$$$ b = 15 – 5(-0.4) = 17 $$संबंध: $y = -0.4x + 17$

उदाहरण 15:

एक ऑनलाइन सेवा का वार्षिक शुल्क सदस्यों की संख्या पर निर्भर करता है। 3 सदस्यों के लिए शुल्क ₹1500 और 7 सदस्यों के लिए शुल्क ₹3100 है। संबंध ज्ञात करें।

• हल:
  • $1500 = 3a + b$
  • $3100 = 7a + b$घटाने पर:$$ 4a = 1600 \implies a = 400 $$$$ b = 1500 – 3(400) = 300 $$संबंध: $y = 400x + 300$

उदाहरण 16:

एक टैक्सी का किराया पहले 2 किमी के बाद प्रति किमी स्थिर है । 5 किमी की यात्रा का किराया ₹120 और 10 किमी की यात्रा का किराया ₹220 है। संबंध स्थापित करें।

• हल:
  • $120 = 5a + b$
  • $220 = 10a + b$घटाने पर:$$ 5a = 100 \implies a = 20 $$$$ b = 120 – 5(20) = 20 $$संबंध: $y = 20x + 20$

उदाहरण 17:

श्रमिकों की संख्या और उत्पादन इकाइयों का संबंध रैखिक है। 20 श्रमिकों द्वारा उत्पादन 180 इकाइयाँ और 40 श्रमिकों द्वारा 340 इकाइयाँ होता है। संबंध ज्ञात करें।

• हल:
  • $180 = 20a + b$
  • $340 = 40a + b$घटाने पर:$$ 20a = 160 \implies a = 8 $$$$ b = 180 – 20(8) = 20 $$संबंध: $y = 8x + 20$

उदाहरण 18:

एक हवाई गुब्बारे की ऊँचाई और समय का संबंध रैखिक है। 3 मिनट बाद ऊँचाई 600 मीटर और 8 मिनट बाद 1200 मीटर हो जाती है। संबंध स्थापित करें।

• हल:
  • $600 = 3a + b$
  • $1200 = 8a + b$घटाने पर:$$ 5a = 600 \implies a = 120 $$$$ b = 600 – 3(120) = 240 $$संबंध: $y = 120x + 240$

उदाहरण 19:

एक गाँव की जनसंख्या और समय का संबंध रैखिक है। वर्ष 2 पर जनसंख्या 1500 और वर्ष 8 पर 1980 हो जाती है। संबंध ज्ञात करें।

• हल:
  • $1500 = 2a + b$
  • $1980 = 8a + b$घटाने पर:$$ 6a = 480 \implies a = 80 $$$$ b = 1500 – 2(80) = 1340 $$संबंध: $y = 80x + 1340$

उदाहरण 20:

पार्सल के वजन और शिपिंग लागत का संबंध रैखिक है। 4 किलोग्राम की लागत ₹300 और 10 किलोग्राम की लागत ₹600 है। संबंध स्थापित करें।

• हल:
  • $300 = 4a + b$
  • $600 = 10a + b$घटाने पर:$$ 6a = 300 \implies a = 50 $$$$ b = 300 – 4(50) = 100 $$संबंध: $y = 50x + 100$

उदाहरण 21:

2 किलोग्राम केक की लागत ₹1000 और 5 किलोग्राम की ₹2200 है। संबंध क्या होगा?

• हल:
  • $1000 = 2a + b$
  • $2200 = 5a + b$घटाने पर:$$ 3a = 1200 \implies a = 400 $$$$ b = 1000 – 2(400) = 200 $$संबंध: $y = 400x + 200$

उदाहरण 22:

केतली में पानी का तापमान समय के साथ रैखिक है। 1 मिनट बाद तापमान $40^\circ\text{C}$ और 5 मिनट बाद तापमान $80^\circ\text{C}$ हो जाता है। संबंध ज्ञात करें।

• हल:
  • $40 = 1a + b$
  • $80 = 5a + b$घटाने पर:$$ 4a = 40 \implies a = 10 $$$$ b = 40 – 10 = 30 $$संबंध: $y = 10x + 30$

उदाहरण 23:

सॉफ़्टवेयर के उपयोगकर्ताओं की संख्या और विज्ञापन व्यय का संबंध रैखिक है। ₹5000 खर्च करने पर 1500 उपयोगकर्ता और ₹10000 खर्च करने पर 2500 उपयोगकर्ता जुड़ते हैं। संबंध स्थापित करें।

• हल:
  • $1500 = 5000a + b$
  • $2500 = 10000a + b$घटाने पर:$$ 5000a = 1000 \implies a = 0.2 $$$$ b = 1500 – 5000(0.2) = 500 $$संबंध: $y = 0.2x + 500$

उदाहरण 24:

फ़िल्टर द्वारा साफ किए गए पानी की मात्रा का समय के साथ संबंध रैखिक है। 3 घंटे में 60 लीटर और 8 घंटे में 160 लीटर पानी साफ होता है। संबंध ज्ञात करें।

• हल:
  • $60 = 3a + b$
  • $160 = 8a + b$घटाने पर:$$ 5a = 100 \implies a = 20 $$$$ b = 60 – 3(20) = 0 $$संबंध: $y = 20x$

उदाहरण 25:

खाद की मात्रा और गड्ढों की संख्या का संबंध रैखिक है। 3 गड्ढों से 180 किलोग्राम और 7 गड्ढों से 380 किलोग्राम खाद प्राप्त होती है। संबंध स्थापित करें।

• हल:
  • $180 = 3a + b$
  • $380 = 7a + b$घटाने पर:$$ 4a = 200 \implies a = 50 $$$$ b = 180 – 3(50) = 30 $$संबंध: $y = 50x + 30$

SECTION 15: रैखिक संबंधों का आलेखीय निरूपण (Graphs of Linear Equations)

कार्टेशियन निर्देशांक पुनरावृत्ति (Coordinate Revision)

एक समतल में किसी बिंदु की स्थिति को दर्शाने के लिए हम दो परस्पर लंबवत अक्षों (x-अक्ष और y-अक्ष) का उपयोग करते हैं, जो एक-दूसरे को मूल बिंदु (Origin: (0, 0)) पर काटते हैं।

आलेख (Graph)

एक रैखिक बहुपद या समीकरण $ y = ax + b $ का आलेख सदैव एक सरल रेखा (Straight Line) होता है ।

प्रवणता (Slope, ‘a’)

यह रेखा के झुकाव की दर को दर्शाता है ।

• धनात्मक ढाल ($a > 0$): रेखा बाईं से दाईं ओर ऊपर की ओर चढ़ती है (रैखिक वृद्धि) ।
• ऋणात्मक ढाल ($a < 0$): रेखा दाईं ओर नीचे की ओर गिरती है (रैखिक ह्रास) ।

y-अंतःखंड (y-intercept, ‘b’)

वह बिंदु जहाँ सरल रेखा y-अक्ष को काटती है । इसके निर्देशांक सदैव $(0, b)$ होते हैं ।

समांतर रेखाएँ (Parallel Lines)

वे रेखाएँ जिनकी ढाल ($a$) समान होती है परंतु y-अंतःखंड ($b$) भिन्न होता है, समांतर रेखाएँ कहलाती हैं ।

आलेखीय निरूपण के 30 हल उदाहरण (30 Solved Examples)

उदाहरण 1:

समीकरण $ y = 2x + 1 $ का आलेख खींचने के लिए बिंदुओं की तालिका बनाइए ।

• हल:
  • यदि $x = 0 \implies y = 2(0) + 1 = 1 $$\implies A(0, 1)$
  • यदि $x = 3 \implies y = 2(3) + 1 = 7$$ \implies B(3, 7)$
  • यदि $x = 1 \implies y = 2(1) + 1 = 3$$ \implies C(1, 3)$ इन बिंदुओं को मिलाकर एक सीधी रेखा खींचें जो y-अक्ष को $(0, 1)$ पर काटेगी ।

उदाहरण 2:

ढाल और y-अंतःखंड निकालें: $ y = -3x + 4 $ ।

• हल: मानक समीकरण $ y = ax + b $ से तुलना करने पर :
  • ढाल ($a$) = -3
  • y-अंतःखंड ($b$) = 4 (रेखा y-अक्ष को $(0, 4)$ पर काटेगी) ।

उदाहरण 3:

समीकरण $ 3y = 6x + 9 $ का ढाल-अंतःखंड रूप ज्ञात करें।

• हल:दोनों पक्षों में 3 से भाग देने पर:$$ y = 2x + 3 $$
  • ढाल = 2, y-अंतःखंड = 3।

उदाहरण 4:

क्या रेखाएँ $ y = 4x – 2 $ और $ y = 4x + 6 $ समांतर हैं?

• हल: हाँ, क्योंकि दोनों की ढाल $a = 4$ समान है ।

उदाहरण 5:

समीकरण $ y = -2x $ का आलेख किस बिंदु से होकर गुजरेगा?

• हल: यहाँ $b = 0$ है, अतः यह रेखा मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरेगी ।

उदाहरण 6:

समीकरण $ 4y = 5x – 20 $ का y-अंतःखंड क्या है?

• हल:$$ y = \frac{5}{4}x – 5 $$
  • y-अंतःखंड $ b = -5 $ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, -5)$ होगा।

उदाहरण 7:

यदि रेखा x-अक्ष को $(4, 0)$ पर काटती है, तो संगत बहुपद का शून्यक क्या होगा?

• हल: बहुपद का शून्यक $ x = 4 $ होगा ।

उदाहरण 8:

आलेखीय अंतर समझाइए: $ y = 4x $ और $ y = -4x $ ।

• हल: दोनों मूल बिंदु से गुजरती हैं । $ y = 4x $ ऊपर की ओर चढ़ती है (धनात्मक ढाल) और $ y = -4x $ नीचे की ओर गिरती है (ऋणात्मक ढाल) ।

उदाहरण 9:

समीकरण $ y = -5 $ का ढाल क्या है?

• हल: इसे $ y = 0x – 5 $ लिख सकते हैं, अतः ढाल = 0 है। यह x-अक्ष के समांतर एक क्षैतिज रेखा है।

उदाहरण 10:

समीकरण $ 2y = 4x – 7 $ के लिए ढाल निकालें ।

• हल:$$ y = 2x – 3.5 \implies \text{ढाल } a = \mathbf{2} $$

उदाहरण 11:

समीकरण $ f(x) = kx + k $ ($k > 0$) किस निश्चित बिंदु से गुजरेगा?

• हल: यदि $ x = -1 $, तो $ y = k(-1) + k = 0 $। अतः यह रेखा हमेशा बिंदु $(-1, 0)$ से गुजरेगी ।

उदाहरण 12:

रेखा $ y = x $ का झुकाव कितना होता है?

• हल: इसकी ढाल $a = 1$ है, यह दोनों अक्षों से समान रूप से $45^\circ$ का कोण बनाती है ।

उदाहरण 13:

रेखा $ y = 4x $ और $ y = \frac{1}{4}x $ की प्रवणता की तुलना करें ।

• हल: $ y = 4x $ की ढाल अधिक है, अतः यह बहुत अधिक खड़ी (steeper) होगी ।

उदाहरण 14:

क्या रेखाएँ $ y = -3x + 1 $ और $ y = -3x $ समांतर हैं?

• हल: हाँ, दोनों की ढाल $-3$ समान है ।

उदाहरण 15:

रेखा $ y = 3x + 4 $ y-अक्ष को कहाँ प्रतिच्छेद करेगी?

• हल: y-अंतःखंड $ b = 4 $, अतः प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 4)$ होगा ।

उदाहरण 16:

क्या बिंदु $(1, 4)$ रेखा $ y = 3x + 1 $ पर स्थित है?

• हल:$$ 4 = 3(1) + 1 \implies 4 = 4 \text{ (सत्य)} $$ हाँ, यह बिंदु रेखा पर स्थित है ।

उदाहरण 17:

समीकरण $ y = -5x + 2 $ का ढाल क्या है?

• हल: ढाल $ a = -5 $ है ।

उदाहरण 18:

समीकरण $ 3x + 4y = 12 $ को ढाल-अंतःखंड रूप में परिवर्तित करें।

• हल:$$ 4y = -3x + 12 \implies y = -\frac{3}{4}x + 3 $$यहाँ ढाल $ -\frac{3}{4} $ और y-अंतःखंड $ 3 $ है।

उदाहरण 19:

यदि किसी रेखा की ढाल शून्य हो, तो उसका आलेख कैसा होगा?

• हल: वह एक क्षैतिज रेखा होगी जो x-अक्ष के समांतर होगी।

उदाहरण 20:

समीकरण $ y = 8x $ का y-अंतःखंड क्या है?

• हल: यहाँ अचर पद अनुपस्थित है, अतः y-अंतःखंड $ b = 0 $ है।

उदाहरण 21:

समीकरण $ y = x – 5 $ का आलेख x-अक्ष को कहाँ काटेगा?

• हल: x-अक्ष पर $y = 0$ रखने पर:$$ 0 = x – 5 \implies x = 5 \implies \text{बिंदु } (5, 0) $$

उदाहरण 22:

क्या रेखा $ y = 2x – 3 $ बिंदु $(2, 1)$ से गुजरती है?

• हल:$$ 1 = 2(2) – 3 \implies 1 = 1 \text{ (सत्य)} $$हाँ, यह गुजरती है।

उदाहरण 23:

रेखा $ y = -x – 7 $ का y-अंतःखंड क्या होगा?

• हल: y-अंतःखंड $ b = -7 $ है।

उदाहरण 24:

समीकरण $ y = 0.25x + 3 $ की ढाल बताइए।

• हल: ढाल $ a = 0.25 $ है।

उदाहरण 25:

क्या रेखाएँ $ y = x + 2 $ और $ y = -x + 2 $ का y-अंतःखंड समान है?

• हल: हाँ, दोनों का y-अंतःखंड $ b = 2 $ है, ये दोनों $(0, 2)$ पर प्रतिच्छेद करेंगी ।

उदाहरण 26:

समीकरण $ y = -3x + 6 $ का आलेख किस चतुर्थांश (Quadrant) से नहीं गुजरेगा?

• हल: यह तृतीय चतुर्थांश (III) से नहीं गुजरेगा।

उदाहरण 27:

समीकरण $ 3y = 9x $ की ढाल निकालें।

• हल: 3 से भाग देने पर: $ y = 3x $। ढाल = 3।

उदाहरण 28:

क्या रेखा $ y = 2x – 5 $ मूल बिंदु से गुजरती है?

• हल: नहीं, क्योंकि इसमें y-अंतःखंड $-5$ है।

उदाहरण 29:

रेखा $ y = -2x + 10 $ x-अक्ष को कहाँ प्रतिच्छेद करेगी?

• हल: $y = 0$ रखने पर:$$ 0 = -2x + 10 $$$$\implies 2x = 10 $$$$\implies x = 5 \implies (5, 0) $$

उदाहरण 30:

रेखा $ y = \frac{2}{3}x – 4 $ का y-अंतःखंड ज्ञात कीजिए।

• हल: y-अंतःखंड $ b = -4 $ है।

वास्तविक जीवन में रैखिक बहुपदों के अनुप्रयोग (Real Life Applications)

बीजगणित केवल किताबों तक सीमित नहीं है। हमारे आसपास की तकनीक और दैनिक जीवन में इसका उपयोग निम्नलिखित क्षेत्रों में बड़े पैमाने पर होता है :

1. गूगल मैप्स और जीपीएस (Google Maps & GPS): गंतव्य स्थान तक पहुँचने के समय की गणना करने के लिए रैखिक समीकरणों का निरंतर उपयोग एल्गोरिदम में किया जाता है ।
2. पेट्रोल पंप की मशीन (Petrol Pump): कुल देय राशि और पेट्रोल के लीटर के बीच रैखिक संबंध काम करता है: कुल मूल्य = (प्रति लीटर दर)$$\times$$(लीटर की मात्रा)
3. इसरो और अंतरिक्ष विज्ञान (ISRO): उपग्रह प्रक्षेपण के प्रारंभिक चरणों में, जब त्वरण स्थिर होता है, गति और ऊँचाई के प्रक्षेपवक्र का निर्धारण करने के लिए पहले स्तर पर रैखिक समीकरणों का उपयोग कर प्रारंभिक गणनाएँ की जाती हैं।
4. मौसम विज्ञान (Meteorology): तापमान में होने वाले क्रमिक बदलावों और वायुमंडलीय दाब के बीच संबंधों का विश्लेषण करने के लिए रैखिक प्रतिरूपण महत्वपूर्ण है.

नवीनतम NCERT उदाहरणों का वैचारिक हल।

आइए आपकी पाठ्यपुस्तक गणित मंजरी में दिए गए महत्वपूर्ण उदाहरणों को विस्तार से और पूरी समझ के साथ हल करते हैं :

उदाहरण 1: राजू एक दुकान पर जाता है जहाँ सीलबंद बक्से बिक रहे हैं। दुकानदार ने बताया कि लाल बक्से में 4 पेन हैं और नीले बक्से में 5 पेंसिल हैं। यदि राजू ने $x$ लाल बक्से और $y$ नीले बक्से खरीदे, और उसे 3 अतिरिक्त पेन मुफ्त मिले, तो कुल सामग्री का व्यंजक ज्ञात कीजिए।

• मेरा विचारशील दृष्टिकोण (Teacher Thinking): “प्यारे बच्चों, यहाँ राजू लाल बक्से खरीद रहा है जिसमें पेन हैं। तो कुल पेन कितने हो गए? $4 \times x = 4x$ । नीले बक्से में पेंसिल हैं, तो कुल पेंसिलें कितनी हो गईं? $5 \times y = 5y$ । उसे 3 पेन अतिरिक्त मिले । तो कुल सामग्री का योग क्या होगा?”
• हल:
  • लाल बक्से से पेनों की संख्या = $4x$
  • नीले बक्से से पेंसिलों की संख्या = $5y$
  • अतिरिक्त मुफ्त पेन = 3
  • कुल सामग्री का बीजीय व्यंजक: $4x + 5y + 3$

उदाहरण 2: एक आयताकार बगीचे की लंबाई $l$ मीटर और चौड़ाई $w$ मीटर है। लंबाई के अनुदिश बाड़ लगाने की लागत ₹100 प्रति मीटर और चौड़ाई के अनुदिश लकड़ी की बाड़ लगाने की लागत ₹80 प्रति मीटर है । पूरे बगीचे में बीज बोने की लागत ₹50 प्रति वर्ग मीटर है । कुल लागत का व्यंजक ज्ञात कीजिए ।

• हल:
  • लंबाई दो तरफ होती है, अतः कुल लंबाई = $2l$। तार बाड़ लगाने की लागत = 2l $$\times$$100 = ₹200l ।
  • चौड़ाई दो तरफ होती है, अतः कुल चौड़ाई = $2w$। लकड़ी बाड़ लगाने की लागत = 2w $$\times$$ 80 = ₹160w ।
  • बीज बोने की लागत क्षेत्रफल पर निर्भर करती है । क्षेत्रफल = $l \times w$। बोने की लागत = 50 $$\times$$ lw = ₹50lw ।
  • कुल लागत का अभीष्ट व्यंजक: $200l + 160w + 50lw$

संपूर्ण NCERT प्रश्नावली समाधान (Exercise 2.1 से 2.6 एवं End-of-Chapter)

यहाँ गणित मंजरी के सभी प्रश्नों के प्रामाणिक, चरणबद्ध और वैचारिक हल प्रस्तुत हैं :

अभ्यास प्रश्नावली 2.1 (Exercise Set 2.1)

प्रश्न 1: निम्नलिखित बहुपदों की घात ज्ञात कीजिए:

(i) $ 2x^2 – 5x + 3 $

(ii) $ y^3 + 2y – 1 $

(iii) $ -9 $

(iv) $ 4z – 3 $

• हल :
  • (i) $ 2x^2 – 5x + 3 $: उच्चतम घात 2 है, अतः घात = 2 (द्विघाती बहुपद) ।
  • (ii) $ y^3 + 2y – 1 $: उच्चतम घात 3 है, अतः घात = 3 (त्रिघाती बहुपद) ।
  • (iii) $ -9 $: यह एक शून्येतर अचर बहुपद है । इसे $ -9x^0 $ लिख सकते हैं, अतः घात = 0 ।
  • (iv) $ 4z – 3 $: उच्चतम घात 1 है, अतः घात = 1 (रैखिक बहुपद) ।

प्रश्न 2: घात 1, 2 और 3 के बहुपदों के उदाहरण लिखिए।

• हल :
  • रैखिक बहुपद (घात 1): $ 3x + 5 $
  • द्विघाती बहुपद (घात 2): $ x^2 – 4x + 7 $
  • त्रिघाती बहुपद (घात 3): $ 2x^3 + x^2 – 6x + 1 $

प्रश्न 3: बहुपद $ x^4 – 3x^3 + 6x^2 – 2x + 7 $ में $ x^2 $ और $ x^3 $ के गुणांक क्या हैं?

• हल :
  • $ x^3 $ का गुणांक = -3
  • $ x^2 $ का गुणांक = 6

प्रश्न 4: बहुपद $ 4z^3 + 5z^2 – 11 $ में $ z $ का गुणांक क्या है?

• हल : दिए गए बहुपद में $ z $ का कोई पद उपस्थित नहीं है । इसे $ 4z^3 + 5z^2 + 0 \cdot z – 11 $ लिख सकते हैं । अतः, $ z $ का गुणांक 0 है ।

प्रश्न 5: बहुपद $ 9x^3 + 5x^2 – 8x – 10 $ का अचर पद क्या है?

• हल : अचर पद (बिना चर वाला पद) = -10 है ।

अभ्यास प्रश्नावली 2.2 (Exercise Set 2.2)

प्रश्न 1: रैखिक बहुपद $ 5x – 3 $ का मान ज्ञात कीजिए, यदि:

(i) $ x = 0 $

(ii) $ x = -1 $

(iii) $ x = 2 $

• हल : मान लीजिए $ p(x) = 5x – 3 $ ।
  • (i) जब $ x = 0 $: $ p(0) = 5(0) – 3 = 0 – 3 = \mathbf{-3} $
  • (ii) जब $ x = -1 $: $ p(-1) = 5(-1) – 3 = -5 – 3 = \mathbf{-8} $
  • (iii) जब $ x = 2 $: $ p(2) = 5(2) – 3 = 10 – 3 = \mathbf{7} $

प्रश्न 2: द्विघाती बहुपद $ 7s^2 – 4s + 6 $ का मान ज्ञात कीजिए, यदि:

(i) $ s = 0 $

(ii) $ s = -3 $

(iii) $ s = 4 $

• हल : मान लीजिए $ p(s) = 7s^2 – 4s + 6 $ ।
  • (i) जब $ s = 0 $: $ p(0) = 7(0)^2 – 4(0) + 6 = \mathbf{6} $
  • (ii) जब $ s = -3 $: $ p(-3) = 7(-3)^2 – 4(-3) + 6$$ = 7(9) + 12 + 6 = 63 + 18 = \mathbf{81} $
  • (iii) जब $ s = 4 $: $ p(4) = 7(4)^2 – 4(4) + 6 $$= 7(16) – 16 + 6 $$= 112 – 10 = \mathbf{102} $

प्रश्न 3: सलिल की माता की वर्तमान आयु सलिल की वर्तमान आयु की तीन गुनी है। 5 वर्ष बाद, उनकी आयु का योग 70 वर्ष हो जाएगा । उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए ।

• हल :
  • मान लीजिए सलिल की वर्तमान आयु = $ x $ वर्ष ।
  • माता की वर्तमान आयु = $ 3x $ वर्ष ।
  • 5 वर्ष बाद: सलिल = $ x + 5 $ वर्ष, माता = $ 3x + 5 $ वर्ष ।
  • प्रश्नानुसार:$$ (x + 5) + (3x + 5) = 70$$$$ \implies 4x + 10 = 70 $$$$ 4x = 60 \implies x = 15 $$
  • उत्तर: सलिल की वर्तमान आयु = 15 वर्ष, माता की आयु = $ 3(15) = $ 45 वर्ष ।

प्रश्न 4: दो धनात्मक पूर्णांकों के बीच का अंतर 63 है। उन दोनों पूर्णांकों का अनुपात 2:5 है । दोनों पूर्णांक ज्ञात कीजिए ।

• हल :
  • मान लीजिए पूर्णांक $ 2x $ और $ 5x $ हैं ।
  • प्रश्नानुसार अंतर 63 है : $$ 5x – 2x = 63 $$$$\implies 3x = 63 $$$$\implies x = 21 $$
  • उत्तर: पूर्णांक $ 2(21) = $ 42 और $ 5(21) = $ 105 हैं ।

प्रश्न 5: रूबी के पास ₹5 के सिक्कों की तुलना में ₹2 के सिक्कों की संख्या 3 गुनी है। यदि उसके पास कुल ₹88 हैं, तो दोनों प्रकार के सिक्कों की संख्या ज्ञात कीजिए ।

• हल :
  • मान लीजिए ₹5 के सिक्कों की संख्या = $ x $ ।
  • अतः, ₹2 के सिक्कों की संख्या = $ 3x $ ।
  • कुल मूल्य का समीकरण : $$ 5(x) + 2(3x) = 88 $$$$\implies 5x + 6x = 88 $$$$\implies 11x = 88 $$$$\implies x = 8 $$
  • उत्तर: ₹5 के सिक्कों की संख्या = 8, ₹2 के सिक्कों की संख्या = $ 3(8) = $ 24 ।

प्रश्न 6: एक किसान 300 फीट लंबी बाड़ को दो असमान टुकड़ों में काटता है। लंबा टुकड़ा छोटे टुकड़े से चार गुना लंबा है । दोनों टुकड़ों की लंबाई ज्ञात कीजिए ।

• हल :
  • मान लीजिए छोटा टुकड़ा = $ x $ फीट, लंबा टुकड़ा = $ 4x $ फीट ।
  • प्रश्नानुसार : $$ x + 4x = 300 $$$$\implies 5x = 300 $$$$\implies x = 60 $$
  • उत्तर: छोटा टुकड़ा = 60 फीट, लंबा टुकड़ा = 240 फीट ।

प्रश्न 7: यदि किसी आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई के दोगुने से तीन अधिक है और उसका परिमाप 24 सेमी है, तो आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए।

• हल :
  • मान लीजिए चौड़ाई = $ w $ सेमी ।
  • लंबाई = $ 2w + 3 $ सेमी ।
  • परिमाप = 2(लंबाई + चौड़ाई) = 24 । $$(2w + 3) + w] = 24 $$$$\implies 2[3w + 3] = 24 $$$$\implies 6w + 6 = 24 $$$$ 6w = 18 \implies w = 3 $$
  • उत्तर: चौड़ाई = 3 सेमी, लंबाई = $ 2(3) + 3 = $ 9 सेमी ।

अभ्यास प्रश्नावली 2.3 (Exercise Set 2.3)

प्रश्न 1: एक छात्रा के बचत बैंक खाते में ₹500 हैं। उसे हर महीने ₹150 पॉकेट मनी मिलती है । दूसरे महीने से हर महीने के अंत में उसके पास कितना पैसा होगा? $n$-वें महीने में उसके पास जमा राशि को दर्शाने वाला रैखिक व्यंजक ज्ञात कीजिए ।

• हल :
  • दूसरे महीने के अंत में कुल राशि = 500 + 2 $$\times $$150 = ₹800 ।
  • तीसरे महीने के अंत में कुल राशि = 500 + 3 $$ times $$150 = ₹950।
  • चौथे महीने के अंत में कुल राशि = 500 + 4 $$ \times$$ 150 = ₹1100 ।
  • $n$-वें महीने के लिए रैखिक व्यंजक: $ S(n) = 500 + 150n $

प्रश्न 2: एक रैली 120 सदस्यों के साथ शुरू होती है। प्रत्येक घंटे 9 सदस्य समूह छोड़ देते हैं । 1, 2, 3… घंटों के बाद कितने सदस्य शेष रहेंगे? $n$-वें घंटे के अंत में सदस्यों की संख्या को दर्शाने वाला रैखिक व्यंजक ज्ञात कीजिए ।

• हल :
  • 1 घंटे बाद = $ 120 – 1(9) = \mathbf{111} $ ।
  • 2 घंटे बाद = $ 120 – 2(9) = \mathbf{102} $ ।
  • 3 घंटे बाद = $ 120 – 3(9) = \mathbf{93} $ ।
  • $n$-वें घंटे के लिए रैखिक व्यंजक: $ M(n) = 120 – 9n $

प्रश्न 3: मान लीजिए एक आयत की लंबाई 13 सेमी है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि चौड़ाई है (i) 12 सेमी, (ii) 10 सेमी, (iii) 8 सेमी । आयत के क्षेत्रफल को दर्शाने वाला रैखिक प्रतिमान ज्ञात कीजिए ।

• हल : क्षेत्रफल $ = \text{लंबाई} \times $ चौड़ाई .
  • (i) $ 13 \times 12 =156 $$ \text{ सेमी}^2 $
  • (ii) $ 13 \times 10 = \mathbf{130 \text{ सेमी}^2} $
  • (iii) $ 13 \times 8 = \mathbf{104 \text{ सेमी}^2} $
  • रैखिक प्रतिमान (यदि चौड़ाई $x$ हो): $ A(x) = 13x $

प्रश्न 4: मान लीजिए एक आयताकार बक्से की लंबाई 7 सेमी और चौड़ाई 11 सेमी है। आयतन ज्ञात कीजिए यदि ऊँचाई है (i) 5 सेमी, (ii) 9 सेमी, (iii) 13 सेमी । बक्से के आयतन को दर्शाने वाला रैखिक प्रतिमान ज्ञात कीजिए ।

• हल : आयतन = लंबाई $$\times$$ चौड़ाई $$\times $$ ऊँचाई. आधार का क्षेत्रफल $ = 7 \times 11 = 77 \text{ सेमी}^2 $.
  • (i) $ 77 \times 5 = \mathbf{385 \text{ सेमी}^3} $
  • (ii) $ 77 \times 9 = \mathbf{693 \text{ सेमी}^3} $
  • (iii) $ 77 \times 13 = \mathbf{1001 \text{ सेमी}^3} $
  • रैखिक प्रतिमान (यदि ऊँचाई $h$ हो): $ V(h) = 77h $

प्रश्न 5: सरिता 500 पृष्ठों की एक पुस्तक पढ़ रही है। वह प्रतिदिन 20 पृष्ठ पढ़ती है । 15 दिनों के बाद कितने पृष्ठ शेष रह जाएंगे? इसे एक रैखिक पैटर्न के रूप में व्यक्त कीजिए ।

• हल :
  • प्रतिदिन पढ़े जाने वाले पृष्ठ = 20 ।
  • रैखिक पैटर्न (यदि दिनों की संख्या $n$ हो): $ P(n) = 500 – 20n $
  • 15 दिनों के बाद शेष पृष्ठ = $ 500 – 20(15) = 500 – 300 = \mathbf{200 \text{ पृष्ठ}} $ ।

अभ्यास प्रश्नावली 2.4 (Exercise Set 2.4)

प्रश्न 1: मान लीजिए एक पौधे की प्रारंभिक ऊँचाई 1.75 फीट है और यह प्रति माह 0.5 फीट बढ़ता है।

(i) 7 महीने बाद पौधे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।

(ii) $t$ के मान 0 से 10 महीनों के लिए तालिका बनाइए जो पौधे की मासिक वृद्धि दर्शाती हो ।

(iii) $h$ और $t$ के बीच संबंध स्थापित करने वाला एक व्यंजक लिखिए और समझाइए कि यह रैखिक वृद्धि क्यों दर्शाता है ।

• हल :
  • (i) 7 महीने बाद ऊँचाई = $ 1.75 + 7 \times 0.5 = 1.75 + 3.5 = $ 5.25 फीट ।
  • (ii) तालिका :

समय t (महीने)	ऊँचाई h (फीट)
0	1.75
1	2.25
2	2.75
3	3.25
4	3.75
5	4.25
6	4.75
7	5.25
8	5.75
9	6.25
10	6.75

• (iii) व्यंजक: $ h(t) = 1.75 + 0.5t $ । यह रैखिक वृद्धि दर्शाता है क्योंकि ऊँचाई प्रत्येक माह एक निश्चित और स्थिर राशि (0.5 फीट) से बढ़ रही है ।

प्रश्न 2: एक मोबाइल फोन ₹10,000 में खरीदा गया था। इसका मूल्य हर वर्ष ₹800 घट जाता है ।

(i) 3 वर्ष बाद मोबाइल फोन का मूल्य ज्ञात कीजिए ।

(ii) $t$ के मान 0 से 8 वर्षों के लिए तालिका बनाइए ।

(iii) $v$ और $t$ के बीच संबंध स्थापित करने वाला एक व्यंजक लिखिए और समझाइए कि यह रैखिक ह्रास को क्यों प्रदर्शित करता है ।

• हल :
  • (i) 3 वर्ष बाद मूल्य = $ 10000 – 3 \times 800 = 10000 – 2400 = $ ₹7,600 ।
  • (ii) तालिका :

समय t (वर्ष)	मूल्य v (₹)
0	10000
1	9200
2	8400
3	7600
4	6800
5	6000
6	5200
7	4400
8	3600

• (iii) व्यंजक: $ v(t) = 10000 – 800t $ । यह रैखिक ह्रास (decay) दर्शाता है क्योंकि मूल्य प्रत्येक वर्ष एक निश्चित और स्थिर दर (₹800 प्रति वर्ष) से कम हो रहा है ।

प्रश्न 3: एक गाँव की प्रारंभिक जनसंख्या 750 है। हर वर्ष 50 लोग गाँव में आकर रहने लगते हैं ।

(i) 6 वर्ष बाद गाँव की जनसंख्या क्या होगी?

(ii) $t$ के मान 0 से 10 वर्षों के लिए तालिका बनाइए ।

(iii) $P$ और $t$ के बीच संबंध स्थापित करने वाला एक व्यंजक लिखिए ।

• हल :
  • (i) 6 वर्ष बाद जनसंख्या = $ 750 + 6 \times 50 = 750 + 300 =$ 1050 लोग ।
  • (ii) तालिका :

समय t (वर्ष)	जनसंख्या P
0	750
1	800
2	850
3	900
4	950
5	1000
6	1050
7	1100
8	1150
9	1200
10	1250

• (iii) व्यंजक: $ P(t) = 750 + 50t $ । यह रैखिक वृद्धि दर्शाता है क्योंकि जनसंख्या प्रत्येक वर्ष एक स्थिर दर (50 व्यक्ति प्रति वर्ष) से बढ़ रही है ।

प्रश्न 4: एक दूरसंचार कंपनी एक रिचार्ज योजना के लिए ₹600 शुल्क लेती है। बैलेंस प्रतिदिन ₹15 की दर से घटता है ।

(i) $x$ दिनों के उपयोग के बाद शेष बैलेंस को दर्शाने वाला समीकरण लिखिए ।

(ii) यह प्रीपेड बैलेंस कितने दिनों में पूरी तरह समाप्त हो जाएगा?

(iii) $x$ के मान 1 से 10 दिनों के लिए तालिका बनाइए ।

• हल :
  • (i) समीकरण: $ b(x) = 600 – 15x $ । यह रैखिक ह्रास दर्शाता है क्योंकि बैलेंस प्रतिदिन एक निश्चित राशि (₹15 प्रति दिन) से घट रहा है ।
  • (ii) बैलेंस समाप्त होने पर $ b(x) = 0 $ : $$ 600 – 15x = 0 \implies 15x = 600 $$$$\implies x = \frac{600}{15} = 40$$ दिन
  • (iii) तालिका :

दिन x	शेष बैलेंस b(x) (₹)
1	585
2	570
3	555
4	540
5	525
6	510
7	495
8	480
9	465
10	450

अभ्यास प्रश्नावली 2.5 (Exercise Set 2.5)

प्रश्न 1: एक डिजिटल लर्निंग प्लेटफॉर्म मासिक नियत शुल्क और प्रति मॉड्यूल अतिरिक्त प्रभार लेता है। एक छात्रा ने पाया कि 10 मॉड्यूल उपयोग करने पर उसका बिल ₹400 आया और 14 मॉड्यूल उपयोग करने पर बिल ₹500 था । यदि मासिक बिल $y$, मॉड्यूल संख्या $x$ पर संबंध $ y = ax + b $ के अनुसार निर्भर करता है, तो $a$ और $b$ का मान ज्ञात कीजिए ।

• हल :
  • स्थिति 1: जब $ x = 10 $, तो $ y = 400 \implies 400 = 10a + b $ — (समीकरण 1)
  • स्थिति 2: जब $ x = 14 $, तो $ y = 500 \implies 500 = 14a + b $ — (समीकरण 2) समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर: $$ 100 = 4a \implies a = 25 $$$a = 25$ का मान समीकरण (1) में रखने पर:$$ 400 = 10(25) + b $$$$\implies 400 = 250 + b$$$$ \implies b = 150 $$
  • उत्तर: $ a = 25 $ (प्रति मॉड्यूल प्रभार), $ b = 150 $ (मासिक नियत शुल्क)।

प्रश्न 2: एक जिम मासिक नियत शुल्क और प्रति घंटा बैडमिंटन कोर्ट उपयोग अतिरिक्त प्रभार लेता है। एक छात्र ने पाया कि 10 घंटे कोर्ट उपयोग करने पर उसका बिल ₹800 और 15 घंटे उपयोग करने पर बिल ₹1100 था । यदि मासिक बिल $y$, कोर्ट उपयोग समय $x$ पर संबंध $ y = ax + b $ के अनुसार निर्भर करता है, तो $a$ और $b$ का मान ज्ञात कीजिए ।

• हल :
  • स्थिति 1: जब $ x = 10 $, तो $ y = 800 \implies 800 = 10a + b $ — (समीकरण 1)
  • स्थिति 2: जब $ x = 15 $, तो $ y = 1100 \implies 1100 = 15a + b $ — (समीकरण 2) समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर: $$ 300 = 5a \implies a = 60 $$$a = 60$ का मान समीकरण (1) में रखने पर:$$ 800 = 10(60) + b $$$$\implies 800 = 600 + b $$$$\implies b = 200 $$
  • उत्तर: $ a = 60 $ (प्रति घंटा प्रभार), $ b = 200 $ (नियत मासिक शुल्क) ।

प्रश्न 3: सेल्सियस ($^\circ\text{C}$) और फ़ारेनहाइट ($^\circ\text{F}$) तापमान पैमाने के बीच रैखिक संबंध $ C = aF + b $ है। हम जानते हैं कि जल का हिमांक $0^\circ\text{C}$ या $32^\circ\text{F}$ है और क्वथनांक $100^\circ\text{C}$ या $212^\circ\text{F}$ है । इन मानों का उपयोग कर $a$ और $b$ का मान ज्ञात कीजिए ।

• हल :
  • स्थिति 1: जब $ C = 0 $, तो $ F = 32 \implies 0 = 32a + b $ — (समीकरण 1)
  • स्थिति 2: जब $ C = 100 $, तो $ F = 212 \implies 100 = 212a + b $ — (समीकरण 2) समीकरण (1) से: $ b = -32a $ । इसे समीकरण (2) में रखने पर: $$ 100 = 212a – 32a \implies 100 = 180a $$$$\implies a = \frac{100}{180} = \frac{5}{9} $$ अब, $ b = -32 \times \frac{5}{9} = -\frac{160}{9} $ ।
  • उत्तर: $ a = \frac{5}{9} $, $ b = -\frac{160}{9} $ ।

अभ्यास प्रश्नावली 2.6 (Exercise Set 2.6)

प्रश्न 1: निम्नलिखित समीकरण समूहों के आलेख खींचिए। प्रत्येक स्थिति में ढाल ‘a’ और y-अंतःखंड ‘b’ की भूमिका का विश्लेषण कीजिए ।

(i) $ y = 3x – 1 $, $ y = 3x $, $ y = 3x + 1 $

(ii) $ y = 4x $, $ y = 2x $, $ y = x $

(iii) $ y = 5x $, $ y = -5x $

(iv) $ y = -6x $, $ y = -3x $, $ y = -x $

(v) $ y = -2x – 3 $, $ y = -2x $, $ y = 2x + 3 $

• हल :
  • (i) तीनों रेखाओं की ढाल $ a = 3 $ (समान) है, लेकिन y-अंतःखंड क्रमशः $-1$, $0$, और $1$ हैं । आलेखीय रूप से, ये तीनों रेखाएँ एक-दूसरे के समांतर होंगी ।
  • (ii) सभी रेखाओं का y-अंतःखंड $ b = 0 $ है, अतः ये मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरती हैं । प्रवणता (ढाल) अधिक होने के कारण $ y = 4x $ सबसे खड़ी (steep) रेखा होगी ।
  • (iii) दोनों रेखाएँ मूल बिंदु से गुजरती हैं । $ y = 5x $ ऊपर की ओर चढ़ती है (धनात्मक ढाल) और $ y = -5x $ नीचे की ओर गिरती है (ऋणात्मक ढाल) ।
  • (iv) तीनों रेखाओं का झुकाव ऋणात्मक दिशा में है । $y = -6x$ सबसे खड़ी ढलान वाली रेखा होगी ।
  • (v) $ y = -2x – 3 $ और $ y = -2x $ समांतर रेखाएँ हैं क्योंकि दोनों की ढाल $-2$ समान है । इसके विपरीत, $ y = 2x + 3 $ विपरीत दिशा में ऊपर की ओर चढ़ेगी ।

अध्याय के अंत के अभ्यास प्रश्न (End-of-Chapter Exercises)

प्रश्न 1: चर $x$ में घात 3 का एक ऐसा बहुपद लिखिए, जिसमें $x^2$ पद का गुणांक -7 हो।

• हल : अभीष्ट बहुपद का एक उदाहरण: $$ p(x) = x^3 – 7x^2 + 5x + 3 $$ (इसके कई अन्य सही उत्तर भी हो सकते हैं) ।

प्रश्न 2: संकेतित चरों के मानों पर निम्नलिखित बहुपदों का मान ज्ञात कीजिए:

(i) $ 5x^2 – 3x + 7 $ यदि $ x = 1 $

(ii) $ 4t^3 – t^2 + 6 $ यदि $ t = a $

• हल :
  • (i) $ p(1) = 5(1)^2 – 3(1) + 7 = 5 – 3 + 7 = \mathbf{9} $ ।
  • (ii) $ p(a) = \mathbf{4a^3 – a^2 + 6} $ ।

प्रश्न 3: यदि हम एक संख्या को $ \frac{5}{2} $ से गुणा करते हैं और गुणनफल में $ \frac{2}{3} $ जोड़ते हैं, तो हमें $ -\frac{7}{12} $ प्राप्त होता है। संख्या ज्ञात कीजिए ।

• हल : मान लीजिए संख्या $ = x $ है। $$ \frac{5}{2}x + \frac{2}{3} = -\frac{7}{12} $$$$ \frac{5}{2}x = -\frac{7}{12} – \frac{2}{3} \implies \frac{5}{2}x = \frac{-7 – 8}{12} $$$$ \frac{5}{2}x = -\frac{15}{12} \implies \frac{5}{2}x = -\frac{5}{4} $$$$ x = -\frac{5}{4} \times \frac{2}{5} = \mathbf{-\frac{1}{2}} $$

प्रश्न 4: एक धनात्मक संख्या दूसरी संख्या की 5 गुनी है। यदि दोनों संख्याओं में 21 जोड़ दिया जाए, तो नई संख्याओं में से एक संख्या दूसरी नई संख्या की दोगुनी हो जाती है । संख्याएँ ज्ञात कीजिए ।

• हल :
  • मान लीजिए पहली संख्या = $ x $, दूसरी संख्या = $ 5x $ ।
  • दोनों में 21 जोड़ने पर: नई संख्याएँ $ x + 21 $ और $ 5x + 21 $ होंगी।
  • प्रश्नानुसार : $$ 5x + 21 = 2(x + 21) $$$$\implies 5x + 21 = 2x + 42 $$$$ 3x = 21 \implies x = 7 $$
  • उत्तर: संख्याएँ 7 और $ 5(7) = $ 35 हैं ।

प्रश्न 5: यदि आपके पास ₹800 हैं और आप हर महीने ₹250 बचाते हैं। तो निम्नलिखित समय के बाद आपके पास कुल कितनी राशि होगी :

(i) 6 महीने

(ii) 2 वर्ष

इसे एक रैखिक प्रतिमान के रूप में व्यक्त कीजिए ।

• हल :
  • रैखिक प्रतिमान (यदि महीनों की संख्या $n$ हो): $ A(n) = 800 + 250n $
  • (i) 6 महीने बाद = $ 800 + 250(6) = 800 + 1500 = $ ₹2,300।
  • (ii) 2 वर्ष (24 महीने) बाद = $ 800 + 250(24) = 800 + 6000 = $ ₹6,800 ।

प्रश्न 6: एक दो अंकों की संख्या के अंकों का अंतर 3 है। यदि अंकों के स्थान परस्पर बदल दिए जाएँ और प्राप्त नई संख्या को मूल संख्या में जोड़ा जाए, तो योगफल 143 प्राप्त होता है । दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए ।

• हल :
  • मान लीजिए दहाई का अंक $ = y $ और इकाई का अंक $ = x $ है। अंकों का अंतर 3 है, अतः $ y – x = 3 \implies y = x + 3 $ 。
  • मूल संख्या $ = 10(x + 3) + x = 11x + 30 $ 。
  • स्थान बदलने पर बनी नई संख्या $ = 10x + (x + 3) = 11x + 3 $
  • प्रश्नानुसार योगफल 143 है : $$ (11x + 30) + (11x + 3) = 143 $$$$\implies 22x + 33 = 143 $$$$ 22x = 110 \implies x = 5 $$
  • दहाई का अंक $ = 5 + 3 = 8 $।
  • उत्तर: मूल संख्या 85 है और नई संख्या 58 है

प्रश्न 7: निम्नलिखित समीकरणों के आलेख खींचिए, तथा उनकी ढाल और y-अंतःखंड की पहचान कीजिए। वे बिंदु भी ज्ञात कीजिए जहाँ ये रेखाएँ y-अक्ष को काटती हैं । क्या इनमें से कोई रेखाएँ समांतर हैं?

(i) $ y = -3x + 4 $

(ii) $ 2y = 4x + 7 $

(iii) $ 5y = 6x – 10 $

(iv) $ 3y = 6x – 11 $

• हल :
  • (i) $ y = -3x + 4 $: ढाल = -3, y-अंतःखंड = 4 । बिंदु = $(0, 4)$ ।
  • (ii) $ 2y = 4x + 7 \implies y = 2x + 3.5 $: ढाल = 2, y-अंतःखंड = 3.5 । बिंदु = $(0, 3.5)$ ।
  • (iii) $ 5y = 6x – 10 \implies y = 1.2x – 2 $: ढाल = 1.2, y-अंतःखंड = -2 । बिंदु = $(0, -2)$ ।
  • (iv) $ 3y = 6x – 11 \implies y = 2x – 3.67 $: ढाल = 2, y-अंतःखंड = -3.67 । बिंदु = $(0, -3.67)$ ।
  • समांतर रेखाएँ: समीकरण (ii) और (iv) की ढाल समान ($a = 2$) है, अतः ये दोनों रेखाएँ समांतर हैं ।

प्रश्न 8: यदि किसी द्रव का तापमान केल्विन पैमाने पर $x\text{ K}$ और फ़ारेनहाइट पैमाने पर $y^\circ\text{F}$ हो, तो उनके बीच संबंध दर्शाने वाला समीकरण $ y = \frac{9}{5}(x – 273) + 32 $ है।

(i) यदि द्रव का तापमान $313\text{ K}$ है, तो फ़ारेनहाइट में तापमान ज्ञात कीजिए ।

(ii) यदि तापमान $158^\circ\text{F}$ है, तो केल्विन में तापमान ज्ञात कीजिए ।

• हल :
  • (i) $ y = \frac{9}{5}(313 – 273) + 32 = \frac{9}{5}(40) + 32 $$= 72 + 32 = \mathbf{104^\circ\text{F}} $ ।
  • (ii) $ 158 = \frac{9}{5}(x – 273) + 32 $$\implies 126 = \frac{9}{5}(x – 273)^\circ $ $ 126 \times \frac{5}{9} = x – 273 $$\implies 70 = x – 273 $$\implies x = \mathbf{343\text{ K}^\circ} $

परीक्षा उपयोगी अतिरिक्त अभ्यास प्रश्न (Extra Questions)

बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

प्रश्न 1: निम्नलिखित में से कौन सा व्यंजक बहुपद नहीं है?

(a) $x^2 + 5$

(b) $ \sqrt{x} + 4 $

(c) $3x – 1$

(d) $y^3 + y – 2$

• उत्तर: (b)
• व्याख्या: यहाँ चर $x$ की घात $1/2$ है, जो कि पूर्ण संख्या नहीं है ।

प्रश्न 2: रैखिक बहुपद $3x – 12$ का शून्यक क्या होगा?

(a) 2

(b) 3

(c) 4

(d) -4

• उत्तर: (c)
• व्याख्या: शून्यक ज्ञात करने के लिए $3x – 12 = 0 \implies 3x = 12 \implies x = 4$।

प्रश्न 3: दो समांतर रेखाओं के समीकरणों में क्या समान होना अनिवार्य है?

(a) y-अंतःखंड

(b) ढाल (Slope)

(c) अचर पद

(d) उपरोक्त में से कोई नहीं

• उत्तर: (b)
• व्याख्या: समांतर रेखाओं की प्रवणता या ढाल हमेशा बराबर होती है ।

प्रश्न 4: बहुपद $5x^3 – 3x^2 + x – 9$ की घात क्या है?

(a) 1

(b) 2

(c) 3

(d) 0

• उत्तर: (c)
• व्याख्या: चर की सबसे बड़ी घात 3 है ।

प्रश्न 5: एक शून्येतर अचर बहुपद की घात हमेशा होती है:

(a) 1

(b) 0

(c) अपरिभाषित

(d) -1

• उत्तर: (b)
• व्याख्या: अचर बहुपद को $cx^0$ लिख सकते हैं, अतः घात 0 होती है ।

अभिकथन और कारण प्रश्न (Assertion-Reason Questions)

निर्देश: नीचे दिए गए प्रश्नों में एक अभिकथन (A) और एक कारण (R) दिया गया है। सही विकल्प का चुनाव करें:

(a) A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या करता है।

(b) A और R दोनों सत्य हैं, लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं करता है।

(c) A सत्य है, लेकिन R असत्य है।

(d) A असत्य है, लेकिन R सत्य है।

प्रश्न 1:

• अभिकथन (A): बहुपद $p(x) = \sqrt{3}x + 2$ एक रैखिक बहुपद है।
• कारण (R): किसी बहुपद के रैखिक होने के लिए चरों के गुणांक हमेशा परिमेय संख्याएँ होने चाहिए।
• उत्तर: (c)
• व्याख्या: अभिकथन (A) बिल्कुल सत्य है क्योंकि चर $x$ की घात 1 है। परंतु कारण (R) असत्य है क्योंकि चरों के गुणांक कोई भी वास्तविक संख्या (अपरिमेय भी) हो सकते हैं ।

प्रश्न 2:

• अभिकथन (A): समीकरण $ y = 2x – 3 $ और $ y = 2x + 5 $ कभी भी एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करेंगे।
• कारण (R): वे रेखाएँ जिनकी ढाल समान होती है, वे आपस में समांतर होती हैं।
• उत्तर: (a)
• व्याख्या: दोनों रेखाओं की ढाल $a = 2$ समान है, अतः वे समांतर हैं और समांतर रेखाएँ कभी भी आपस में नहीं कटतीं ।

केस स्टडी आधारित प्रश्न (Case Study Based Questions)

परिदृश्य: एक विद्यालय के छात्र पर्यावरण जागरूकता के लिए अपने क्षेत्र में पेड़ लगा रहे हैं। प्रारंभ में एक पौधे की ऊँचाई 1.5 फीट है । छात्रों द्वारा नियमित खाद और पानी देने के बाद पौधा प्रति माह 0.4 फीट की स्थिर दर से बढ़ता है ।

                        /\
                       /  \
                      /    \
                     /      \
                    /________\
                        ||
                        ||  <--- (प्रारंभिक ऊँचाई: 1.5 फीट, वृद्धि: 0.4 फीट/माह)

1. समय $t$ (महीनों में) और ऊँचाई $h$ के बीच संबंध स्थापित करने वाला रैखिक बहुपद लिखिए।
   • उत्तर: $ h(t) = 1.5 + 0.4t $
2. 10 महीने बीतने के बाद पौधे की ऊँचाई क्या होगी?
   • उत्तर: $ h(10) = 1.5 + 0.4(10) = 1.5 + 4 = 5.5$ फीट
3. यदि पौधे की वर्तमान ऊँचाई 3.9 फीट है, तो उसे बढ़ने में कितने महीने का समय लगा?
   • उत्तर:$$ 1.5 + 0.4t = 3.9 $$$$\implies 0.4t = 2.4 $$$$\implies t = \frac{2.4}{0.4}$$ = 6 महीने

अध्याय सूत्र तालिका (Formula Sheet)

अवधारणा / शब्द	मानक रूप / सूत्र	परिभाषा / स्पष्टीकरण	मेमोरी ट्रिक
बीजीय व्यंजक	$ax^n + bx^{n-1} +… + c$	चर और अचर का संक्रियात्मक योग	अक्षरों और अंकों का समूह
बहुपद	$p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} +…$	चरों की घात केवल पूर्ण संख्या होनी चाहिए	घात हो हमेशा पूर्ण संख्या
बहुपद की घात	$n$ (चर की उच्चतम घात)	बहुपद में उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात	सबसे बड़ा खिलाड़ी (घात)
रैखिक बहुपद	$ax + b$ ($a \neq 0$)	घात 1 का विशिष्ट बहुपद	सीधी रेखा की शान
रैखिक समीकरण	$ax + b = c$	जब बहुपद को किसी अचर के बराबर रखें	‘=’ का आना जरूरी है
प्रवणता (Slope)	$a$ (समीकरण $y = ax + b$ में)	रेखा के झुकाव या चढ़ाई की दर	ढलान की तीव्रता
y-अंतःखंड	$b$ (समीकरण $y = ax + b$ में)	जहाँ रेखा y-अक्ष को काटती है $(0, b)$	y-अक्ष से मुलाकात का बिंदु

कक्षा के अनुभव से 30 सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

1. गलती: $3x + 4$ को जोड़कर $7x$ लिख देना।
   • समाधान: याद रखें कि ये विजातीय पद हैं। इन्हें जोड़ा नहीं जा सकता।
2. गलती: अचर बहुपद (जैसे $5$) की घात 1 लिखना।
   • समाधान: अचर पद की घात हमेशा 0 होती है क्योंकि इसे $5x^0$ लिखा जाता है ।
3. गलती: $ \frac{2}{x} $ को रैखिक पद समझना।
   • समाधान: यहाँ चर हर में होने के कारण घात $-1$ है। यह बहुपद ही नहीं है ।
4. गलती: $(-3)^2$ को $-9$ लिख देना।
   • समाधान: ऋण संख्या का वर्ग हमेशा धनात्मक होता है: $(-3)^2 = 9$ 。
5. गलती: $3x^2 + 0x^3 – 5$ की घात 3 लिखना।
   • समाधान: $0x^3 = 0$ होने के कारण वास्तविक बहुपद $3x^2 – 5$ है। घात 2 होगी।
6. गलती: $ y = 3 – 2x $ में ढाल को 3 समझना।
   • समाधान: समीकरण को हमेशा मानक रूप $y = ax + b$ में लिखें। यहाँ $y = -2x + 3$ है, अतः ढाल $-2$ है।
7. गलती: y-अंतःखंड के निर्देशांक $(b, 0)$ लिखना।
   • समाधान: y-अक्ष पर हमेशा $x = 0$ होता है, अतः निर्देशांक $(0, b)$ होंगे ।
8. गलती: $(x+1)(x+2)$ को केवल रैखिक बहुपद समझना।
   • समाधान: गुणा करने पर यह द्विघात बहुपद बन जाता है ।
9. गलती: समांतर रेखाओं के y-अंतःखंड को भी बराबर मान लेना 。
   • समाधान: समांतर रेखाओं की ढाल समान होती है, y-अंतःखंड हमेशा अलग होते हैं ।
10. गलती: दशमलव का जोड़ गलत करना, जैसे $1.75 + 0.5 = 1.80$।
    • समाधान: दशमलव स्थान सही रखें: $1.75 + 0.50 = 2.25$ ।
11. गलती: कोष्ठक के बाहर ऋण चिह्न होने पर चिह्नों का वितरण न करना, जैसे $5 – (x – 2) = 5 – x – 2$।
    • समाधान: कोष्ठक खोलने पर अंदर के चिह्न बदलेंगे: $5 – x + 2 = 7 – x$।
12. गलती: शून्य बहुपद (Zero Polynomial) की घात 0 लिखना।
    • समाधान: शून्य बहुपद की घात हमेशा अपरिभाषित (Not Defined) होती है ।
13. गलती: रैखिक समीकरण का ग्राफ वक्र (curve) बना देना।
    • समाधान: रैखिक समीकरण का आलेख हमेशा एक सरल रेखा होता है ।
14. गलती: चर की घात करणी में होने पर भी उसे बहुपद मानना, जैसे $\sqrt{x} + 2$।
    • समाधान: यह बहुपद नहीं है क्योंकि घात पूर्ण संख्या नहीं है ।
15. गलती: $2x$ में अचर पद को अनुपस्थित मानकर कोई मान न रखना।
    • समाधान: यहाँ अचर पद 0 है, इसे $2x + 0$ लिख सकते हैं।
16. गलती: ढाल धनात्मक होने पर ग्राफ को नीचे की ओर झुका देना।
    • समाधान: धनात्मक ढाल का अर्थ है रेखा ऊपर की ओर चढ़ेगी ।
17. गलती: दो अलग चरों को आपस में गुणा करते समय घातांक जोड़ देना, जैसे $x \times y = xy^2$।
    • समाधान: गुणा करने पर परिणाम केवल $xy$ होगा।
18. गलती: $5x – x$ को केवल 5 लिख देना।
    • समाधान: चर का गुणांक 1 अदृश्य होता है, अतः $5x – 1x = 4x$।
19. गलती: समीकरण को हल करते समय पक्षांतर करने पर चिह्न न बदलना।
    • समाधान: पक्षांतर करने पर धनात्मक मान ऋणात्मक हो जाता है और गुणा वाला मान भाग में जाता है।
20. गलती: $ \frac{x-3}{4} $ में $x$ का गुणांक 1 समझना।
    • समाधान: इसे $ \frac{1}{4}x – \frac{3}{4} $ लिख सकते हैं, अतः $x$ का गुणांक $\frac{1}{4}$ है।
21. गलती: द्विघात बहुपद में पदों की संख्या हमेशा 3 मानना।
    • समाधान: द्विघात बहुपद में अधिकतम 3 पद हो सकते हैं, लेकिन यह एकपदी या द्विपदी भी हो सकता है, जैसे $x^2$ ।
22. गलती: रैखिक संबंध में चरों की घातों को 1 से अधिक मान लेना।
    • समाधान: रैखिक संबंधों में चरों की उच्चतम घात हमेशा 1 होती है ।
23. गलती: $(2x)^3$ को $2x^3$ लिख देना।
    • समाधान: घातांक पूरे पद पर लागू होगा: $(2x)^3 = 8x^3$।
24. गलती: $ y = ax + b $ में यदि $a = 0$ हो, तब भी उसे रैखिक बहुपद कहना ।
    • समाधान: $a = 0$ होने पर यह अचर बहुपद बन जाता है ।
25. गलती: भिन्नों को जोड़ते समय सीधे अंश और हर को जोड़ देना, जैसे $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = \frac{2x}{5}$।
    • समाधान: हमेशा हर का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लें।
26. गलती: अचर संख्या की घात को ही बहुपद की घात मान लेना, जैसे $3^5 x^2$ में घात 5 लिखना।
    • समाधान: घात हमेशा चर (variable) के घातांक से निर्धारित होती है, यहाँ घात 2 है।
27. गलती: विजातीय पदों के गुणांकों को सीधे जोड़ देना।
    • समाधान: केवल सजातीय पदों के गुणांकों को ही आपस में जोड़ा या घटाया जा सकता है।
28. गलती: ग्राफ बनाते समय मनमर्जी से बिंदु चुनकर टेढ़ी-मेढ़ी रेखा बनाना।
    • समाधान: कम से कम दो या तीन सही बिंदु निकालें, वे हमेशा एक सीधी रेखा में होने चाहिए ।
29. गलती: $ p(x) – q(x) $ निकालते समय $q(x)$ के सभी पदों के चिह्न न बदलना।
    • समाधान: घटाव करते समय कोष्ठक लगाकर बाहर ऋण चिह्न लगाएं और सभी आंतरिक चिह्नों को बदलें।
30. गलती: वास्तविक जीवन की समस्याओं को बीजगणित में बदलते समय इकाई का ध्यान न रखना।
    • समाधान: हमेशा सभी दूरियों, समय और मूल्यों की इकाइयों को एक समान रखें (जैसे पैसे को रुपये में बदलें)।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष:

बधाई हो प्यारे बच्चों! आपने कक्षा 9 के अध्याय 2 “रैखिक बहुपद” के प्रत्येक छोटे-बड़े पहलू को बहुत ही गहराई और मजे के साथ सीख लिया है । अब आप परीक्षा में आने वाले हर तरह के वैचारिक, आलेखीय और वास्तविक जीवन पर आधारित प्रश्नों को आत्मविश्वास के साथ हल करने के लिए तैयार हैं ।

गणित को आसान और मजेदार बनाने के लिए निरंतर अभ्यास करते रहिए। इसके बाद, हमारा अगला पड़ाव होगा अध्याय 3: संख्याओं की दुनिया (The World of Numbers), जहाँ हम संख्याओं के अनूठे और जादुई रहस्यों से पर्दा उठाएंगे! यदि आपको कोई भी संदेह हो, तो नीचे कमेंट बॉक्स में जरूर पूछें। खुश रहिए, मुस्कुराते रहिए और पढ़ते रहिए!

कक्षा 9th गणित के नवीनतम पाठ्यक्रम और पाठ्यपुस्तक के लिए, आप NCERT की आधिकारिक वेबसाइट पर जा सकते हैं।”