प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन Class 12 गणित: Mind Map से, सूत्र, ग्राफ, NCERT समाधान एवं बोर्ड परीक्षा की तैयारी

1. प्रस्तावना

कक्षा 12 के गणित पाठ्यक्रम में प्रवेश करते ही विद्यार्थियों का सामना जिस सबसे पहले और महत्वपूर्ण वैचारिक अध्याय से होता है, वह है “प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन” (Inverse Trigonometric Functions) । माध्यमिक स्तर (हाई स्कूल) से उच्च माध्यमिक स्तर (इंटरमीडिएट) में संक्रमण के दौरान यह अध्याय एक सेतु का कार्य करता है। एक अनुभवी शिक्षक के दृष्टिकोण से यह स्पष्ट होता है कि त्रिकोणमिति का यह रूप विद्यार्थियों के लिए प्रारंभिक अवस्था में थोड़ा अमूर्त और जटिल प्रतीत होता है।

विद्यार्थियों को यह अध्याय कठिन क्यों लगता है?

अध्यापन के वर्षों का अनुभव यह दर्शाता है कि विद्यार्थियों के भ्रम का मुख्य कारण पूर्व कक्षाओं में त्रिकोणमिति को केवल समकोण त्रिभुज के भुजा-अनुपातों के रूप में पढ़ना है। जब वे अचानक प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन में आते हैं, तो उन्हें यह समझने में कठिनाई होती है कि यहाँ इनपुट कोई कोण न होकर एक वास्तविक संख्या (अनुपात) है, और आउटपुट कोई संख्या न होकर एक कोण है । इसके अतिरिक्त, प्रांत (Domain) और परिसर (Range) के कड़े प्रतिबंधों के कारण, उन्हें ऐसा लगता है कि वे गणित नहीं बल्कि नियमों की कोई जटिल नियमावली पढ़ रहे हैं ।

क्या वास्तव में $\sin^{-1}x$ एक नया फलन है?

वैज्ञानिक दृष्टिकोण से, $\sin^{-1}x$ (जिसे आर्क्सिन या ‘arcsin’ भी कहा जाता है) कोई नया फलन नहीं है 。 यह वास्तव में ज्या फलन (Sine Function) के ही एक विशिष्ट, प्रतिबंधित भाग का परावर्तित रूप है । गणितज्ञों ने केवल एक ऐसी प्रणाली विकसित की जिसके माध्यम से आवर्ती (Periodic) और बहु-एकी (Many-One) प्रकृति वाले त्रिकोणमितीय फलनों को एक निश्चित सीमा में बांधकर उनका प्रतिलोम ज्ञात किया जा सके ।

[साधारण फलन]     कोण (θ) ───────> मान (x)      (जैसे: sin(π/6) = 1/2)
[प्रतिलोम फलन]    मान (x) ───────> कोण (θ)      (जैसे: sin⁻¹(1/2) = π/6)

महत्वपूर्ण चेतावनी (Notation Warning):

विद्यार्थियों को यह कभी नहीं भूलना चाहिए कि $\sin^{-1}x$ का अर्थ $(\sin x)^{-1}$ या $\frac{1}{\sin x}$ नहीं होता है ।

$$\sin^{-1}x \neq \frac{1}{\sin x}$$

जहाँ $\sin^{-1}x$ एक कोण को दर्शाता है, वहीं $\frac{1}{\sin x}$ कोसीकेंट फलन ($\csc x$) को दर्शाता है ।

बोर्ड परीक्षा में इस अध्याय का महत्व

विभिन्न प्रांतीय बोर्ड परीक्षाओं (जैसे उत्तर प्रदेश बोर्ड, बिहार बोर्ड) और केंद्रीय माध्यमिक शिक्षा बोर्ड (CBSE) में इस अध्याय का प्रत्यक्ष भारांक (Weightage) लगभग 8 से 10 अंकों का होता है । उत्तर प्रदेश बोर्ड के पाठ्यक्रम में यह अध्याय “संबंध तथा फलन” (Relations and Functions) इकाई का हिस्सा है जो कुल 10 अंकों की है । बिहार बोर्ड में भी इसका भारांक लगभग 10 अंकों का रहता है ।

कलन (Calculus) से इसका सम्बन्ध

कलन (Calculus) खंड, जो बोर्ड परीक्षाओं में 35 से 44 अंकों का विशाल भारांक रखता है, पूर्णतः प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की समझ पर आधारित है । चाहे वह अवकलज (Derivative) ज्ञात करना हो, या जटिल समाकलन (Integration) को प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method) द्वारा सरल करना हो, इन फलनों के रूपांतरण सूत्र हर कदम पर प्रयुक्त होते हैं । इसलिए, इस अध्याय पर अधिकार प्राप्त किए बिना कलन में सफलता प्राप्त करना असंभव है।

2. पूर्व ज्ञान का पुनरावलोकन (Review of कक्षा 11th गणित त्रिकोणमिति Knowledge)

इस अध्याय की गहराई में जाने से पूर्व, कक्षा 11 के फलन (Function) संप्रत्यय के कुछ महत्वपूर्ण बिंदुओं को दोहराना आवश्यक है, जो इसके गणितीय आधार का निर्माण करते हैं। एक बार और पढ़ें।

फलन (Function) क्या होता है?

यदि हमारे पास दो गैर-रिक्त समुच्चय (Non-empty sets) $A$ और $B$ हों, तो समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ में एक संबंध $f$ फलन कहलाता है यदि समुच्चय $A$ के प्रत्येक अवयव का समुच्चय $B$ में एक और केवल एक (अद्वितीय) प्रतिबिंब (Unique Image) हो। इसे गणितीय रूप में $f: A \rightarrow B$ लिखते हैं।

प्रतिलोम फलन (Inverse Function) क्या होता है?

मान लीजिए $f: A \rightarrow B$ एक फलन है। यदि हम एक नया फलन $g: B \rightarrow A$ परिभाषित कर सकें, इस प्रकार कि $f(x) = y \iff g(y) = x$, तो फलन $g$ को फलन $f$ का प्रतिलोम फलन कहा जाता है और इसे $f^{-1}$ द्वारा निरूपित किया जाता है।

एक-एकी फलन (One-One / Injective Function)

एक फलन $f: A \rightarrow B$ एक-एकी फलन कहलाता है यदि समुच्चय $A$ के भिन्न अवयवों के समुच्चय $B$ में भिन्न प्रतिबिंब हों ।

यदि $$ f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2 \quad $$ $$ \forall x_1, x_2 \in A$$

आच्छादक फलन (Onto / Surjective Function)

एक फलन $f: A \rightarrow B$ आच्छादक फलन कहलाता है यदि समुच्चय $B$ (सह-प्रांत / Codomain) का प्रत्येक अवयव समुच्चय $A$ (प्रांत / Domain) के किसी न किसी अवयव का प्रतिबिंब हो । अर्थात, फलन का परिसर (Range) उसके सह-प्रांत (Codomain) के बराबर होना चाहिए।

बहु-एकी फलन (Many-One Function)

यदि समुच्चय $A$ के दो या दो से अधिक भिन्न अवयवों का समुच्चय $B$ में समान प्रतिबिंब हो, तो उसे बहु-एकी फलन कहते हैं । सभी छह त्रिकोणमितीय फलन अपने वास्तविक डोमेन में बहु-एकी होते हैं क्योंकि वे आवर्ती फलन (Periodic Functions) हैं 。

प्रतिलोम के अस्तित्व की अनिवार्य शर्तें

किसी भी फलन $f$ का प्रतिलोम $f^{-1}$ केवल और केवल तभी संभव है जब वह फलन एक-एकी आच्छादी फलन (Bijective Function) हो ।

यदि फलन एक-एकी नहीं है (अर्थात बहु-एकी है), तो प्रतिलोम संबंध में एक ही इनपुट के कई आउटपुट प्राप्त होंगे, जो फलन की परिभाषा (अद्वितीयता) के विरुद्ध है। यदि फलन आच्छादक नहीं है, तो प्रतिलोम फलन के प्रांत के कुछ अवयवों का कोई प्रतिबिंब नहीं मिलेगा।

3. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की आवश्यकता (Need for Inverse Trigonometric Functions)

गणित में किसी भी नए सिद्धांत का जन्म किसी व्यावहारिक या वैचारिक समस्या के समाधान के लिए होता है।

सामान्य त्रिकोणमितीय फलन पर्याप्त क्यों नहीं?

मान लीजिए हमें एक समकोण त्रिभुज दिया गया है जिसकी लंबवत ऊँचाई $3$ मीटर और आधार $4$ मीटर है। हमें इस त्रिभुज का झुकाव कोण $\theta$ ज्ञात करना है। हम जानते हैं कि:

$$\tan\theta = \frac{3}{4} = 0.75$$

परंतु सामान्य त्रिकोणमितीय फलनों के पास ऐसी कोई प्रत्यक्ष संक्रिया (Operation) नहीं है जो सीधे $0.75$ को इनपुट के रूप में लेकर कोण $\theta$ का मान दे सके। इस व्यावहारिक समस्या को हल करने के लिए ही प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की आवश्यकता हुई, जिसे हम निम्नलिखित रूप में व्यक्त करते हैं:

$$\theta = \tan^{-1}(0.75)$$

वास्तविक जीवन की समस्याएँ एवं कोण ज्ञात करने की आवश्यकता

सड़क निर्माण में तीव्र ढलानों पर वाहनों के सुरक्षित चलने के लिए सुरक्षित झुकाव कोण का निर्धारण करना हो, या विमानन क्षेत्र (Aviation) में पायलट को रनवे पर सुरक्षित लैंडिंग के लिए ‘ग्लाइड स्लोप कोण’ (Glide Slope Angle) निर्धारित करना हो, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का व्यापक उपयोग होता है।

सर्वेक्षण एवं अभियान्त्रिकी में उपयोग

भू-सर्वेक्षणकर्ता (Land Surveyors) पहाड़ी चोटियों की ऊँचाई और दूरी मापकर ढलान कोण ज्ञात करने के लिए प्रतिलोम साइन और प्रतिलोम स्पर्शज्या ($\tan^{-1}$) का प्रयोग करते हैं । सिविल इंजीनियर पुलों के सहायक केबलों की लंबाई और उनके तनाव कोणों की गणना करने के लिए इन फलनों का सहारा लेते हैं ।

4. प्रतिलोम साइन फलन (Inverse Sine Function / Arcsine)

$\sin^{-1}x$ की अवधारणा

साइन फलन $f(x) = \sin x$ का प्राकृतिक प्रांत $\mathbb{R}$ (सभी वास्तविक संख्याएँ) और परिसर $[-1, 1]$ है। चूंकि $\sin(0) = \sin(\pi) = \sin(2\pi) = 0$, यह स्पष्ट रूप से एक बहु-एकी फलन है । इसका प्रतिलोम परिभाषित करने के लिए, गणितज्ञों ने इसके प्रांत को संवृत अंतराल (Closed Interval) $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ पर प्रतिबंधित कर दिया । इस प्रतिबंधित प्रांत में साइन फलन एक-एकी और आच्छादक बन जाता है, जिससे इसका प्रतिलोम परिभाषित करना संभव हो पाता है ।

परिभाषा

प्रतिबंध $f: \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow [-1, 1]$ के अंतर्गत, फलन $y = \sin^{-1}x$ परिभाषित होता है जहाँ $x \in [-1, 1]$ और $y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ ।

• परिभाषा क्षेत्र (Domain): $[-1, 1]$
• मान क्षेत्र / परिसर (Range): $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$

आलेख (Graph) और $y = x$ के सापेक्ष प्रतिबिम्ब

जब हम $y = \sin x$ (प्रतिबंधित प्रांत में) और $y = \sin^{-1}x$ के आलेखों की तुलना करते हैं, तो वे एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब (Mirror Images) प्रतीत होते हैं। यह दर्पण रेखा $y = x$ होती है।

y-अक्ष
  ▲
  │       * (1, π/2)
  │     / 
  │    /  [y = sin⁻¹(x) का वक्र]
  │   /
  └───┼───────────────► x-अक्ष
 -1  /│       1
    / │
   *  │ (-1, -π/2)
      ▼

महत्वपूर्ण निरसन नियम (Cancellation Laws)

1. $\sin(\sin^{-1}x) = x \quad \forall x \in [-1, 1]$
2. $\sin^{-1}(\sin x) = x \quad \forall x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$

विशेष शिक्षक टिप्पणियाँ

यदि परीक्षा में $\sin^{-1}\left(\sin\frac{2\pi}{3}\right)$ पूछा जाए, तो सीधे $\frac{2\pi}{3}$ लिखना एक गंभीर भूल होगी । चूंकि $\frac{2\pi}{3} \notin \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, इसलिए इसे इस प्रकार हल करेंगे:

$$\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi – \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$$

अतः, $\sin^{-1}\left(\sin\frac{2\pi}{3}\right) = \sin^{-1}\left(\sin\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3}$।

5. प्रतिलोम कोसाइन फलन (Inverse Cosine Function / Arccosine)

$\cos^{-1}x$ की अवधारणा

कोसाइन फलन $f(x) = \cos x$ का प्राकृतिक प्रांत $\mathbb{R}$ और परिसर $[-1, 1]$ है। यह भी एक आवर्ती फलन होने के कारण बहु-एकी है । इसे एक-एकी आच्छादी बनाने के लिए इसके प्रांत को संवृत अंतराल $[0, \pi]$ पर प्रतिबंधित किया जाता है ।

परिभाषा क्षेत्र (Domain) और मान क्षेत्र (Range)

• प्रांत (Domain): $[-1, 1]$
• परिसर (Range / मुख्य मान शाखा): $[0, \pi]$

आलेख (Graph)

$y = \cos^{-1}x$ का आलेख $x = -1$ पर $y = \pi$ के मान से प्रारंभ होकर नीचे की ओर बढ़ता है, $x = 0$ पर $y = \frac{\pi}{2}$ से गुजरता है, और अंततः $x = 1$ पर $y = 0$ को स्पर्श करता है। यह एक निरंतर ह्रासमान फलन (Strictly Decreasing Function) है ।

मुख्य मान शाखा और निरसन नियम

1. $\cos(\cos^{-1}x) = x \quad \forall x \in [-1, 1]$
2. $\cos^{-1}(\cos x) = x \quad \forall x \in [0, \pi]$

याद रखने योग्य बिंदु: यदि $x$ ऋणात्मक है, तो $\cos^{-1}(-x) = \pi – \cos^{-1}x$ होता है । कोसाइन प्रतिलोम का मान कभी भी ऋणात्मक कोण नहीं हो सकता क्योंकि इसका परिसर $[0, \pi]$ है ।

6. प्रतिलोम टैन्जेंट फलन (Inverse Tangent Function / Arctangent)

$\tan^{-1}x$ की अवधारणा

स्पर्शज्या फलन $y = \tan x$ उन बिंदुओं पर परिभाषित नहीं होता जहाँ कोसाइन का मान शून्य होता है (अर्थात $\pi/2$ के विषम गुणांक)। इसके प्रतिलोम को परिभाषित करने के लिए इसका प्रांत विवृत अंतराल (Open Interval) $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ लिया जाता है 。

परिभाषा क्षेत्र (Domain) और मान क्षेत्र (Range)

• प्रांत (Domain): $\mathbb{R}$ (सभी वास्तविक संख्याएँ)
• परिसर (Range): $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$

आलेख (Graph) और अनंतस्पर्शी व्यवहार (Asymptotic Behaviour)

जब $x \rightarrow \infty$, तो $\tan^{-1}x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-$ और जब $x \rightarrow -\infty$, तो $\tan^{-1}x \rightarrow -\frac{\pi}{2}^+$। इसका अर्थ यह है कि क्षैतिज रेखाएँ $y = \frac{\pi}{2}$ और $y = -\frac{\pi}{2}$ इस आलेख के लिए अनंतस्पर्शी (Asymptotes) का कार्य करती हैं। आलेख मूल बिंदु $(0, 0)$ पर $45^\circ$ के कोण पर कटता है।

निरसन नियम

1. $\tan(\tan^{-1}x) = x \quad \forall x \in \mathbb{R}$
2. $\tan^{-1}(\tan x) = x \quad \forall x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$

7. प्रतिलोम कोटैन्जेंट फलन (Inverse Cotangent Function / Arccotangent)

$\cot^{-1}x$ की अवधारणा

कोटैन्जेंट फलन $y = \cot x$ का प्राकृतिक प्रांत $x \neq n\pi$ को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। इसे एक-एकी बनाने के लिए इसका सीमित प्रांत $(0, \pi)$ चुना जाता है 。

परिभाषा क्षेत्र (Domain) और मान क्षेत्र (Range)

• प्रांत (Domain): $\mathbb{R}$
• परिसर (Range): $(0, \pi)$

आलेख (Graph)

$y = \cot^{-1}x$ का आलेख भी एक ह्रासमान वक्र है । जब $x \rightarrow \infty$, तो वक्र $y = 0$ की ओर झुकता है, और जब $x \rightarrow -\infty$, तो यह $y = \pi$ की ओर अग्रसर होता है। यह $y$-अक्ष को $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ पर प्रतिच्छेद करता है।

महत्वपूर्ण परिणाम

$$\cot^{-1}(-x) = \pi – \cot^{-1}x \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

8. प्रतिलोम सेकेंट फलन (Inverse Secant Function / Arcsecant)

$\sec^{-1}x$ की अवधारणा

सेकेंट फलन $y = \sec x$ कोसाइन का व्युत्क्रम है और यह उन बिंदुओं पर परिभाषित नहीं होता जहाँ कोसाइन शून्य होता है। इसके प्रतिलोम को परिभाषित करने के लिए इसका प्रांत $[0, \pi] – \left\{\frac{\pi}{2}\right\}$ लिया जाता है 。

परिभाषा क्षेत्र (Domain) और मान क्षेत्र (Range)

• प्रांत (Domain): $\mathbb{R} – (-1, 1)$ अर्थात $|x| \ge 1$
• परिसर (Range): $[0, \pi] – \left\{\frac{\pi}{2}\right\}$

आलेख (Graph)

इसका आलेख दो पृथक शाखाओं में विभाजित होता है। एक शाखा $x \ge 1$ के लिए $y \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ में होती है, और दूसरी शाखा $x \le -1$ के लिए $y \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ में होती है। रेखा $y = \frac{\pi}{2}$ इन दोनों शाखाओं के मध्य एक अनंतस्पर्शी का कार्य करती है ।

9. प्रतिलोम कोसीकेंट फलन (Inverse Cosecant Function / Arccosecant)

$\csc^{-1}x$ की अवधारणा

कोसीकेंट फलन $y = \csc x$ साइन का व्युत्क्रम है। इसे एक-एकी बनाने के लिए इसका प्रांत $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] – \{0\}$ चुना जाता है 。

परिभाषा क्षेत्र (Domain) और मान क्षेत्र (Range)

• प्रांत (Domain): $\mathbb{R} – (-1, 1)$ अर्थात $|x| \ge 1$
• परिसर (Range): $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] – \{0\}$

आलेख (Graph)

$y = \csc^{-1}x$ का आलेख भी दो असतत (Discontinuous) शाखाओं में विभाजित है। एक शाखा $x \ge 1$ के लिए प्रथम चतुर्थांश में और दूसरी $x \le -1$ के लिए चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है। रेखा $y = 0$ (अर्थात $x$-अक्ष) इसकी अनंतस्पर्शी है।

10. सभी प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की तुलनात्मक सारणी

सभी छह प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणों को संक्षेप में और प्रभावी ढंग से याद रखने के लिए निम्नलिखित सारणी का उपयोग किया जा सकता है:

11. Principal Value (मुख्य मान) की सम्पूर्ण व्याख्या

Principal Value क्या है?

किसी प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का वह मान जो उसकी मुख्य मान शाखा (Principal Value Branch) के अंतर्गत आता है, उसका मुख्य मान (Principal Value) कहलाता है 。

Principal Branch क्या है?

चूंकि त्रिकोणमितीय फलनों को एक-एकी बनाने के लिए कई अलग-अलग अंतरालों में प्रतिबंधित किया जा सकता है (जैसे $\sin x$ को $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$ या $\left[-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}\right]$ में भी प्रतिबंधित किया जा सकता है), इसलिए इन अंतरालों में से गणितज्ञों द्वारा सर्वसम्मति से चुनी गई सबसे मानक और सरलतम शाखा को ही “मुख्य मान शाखा” (Principal Value Branch) का नाम दिया गया ।

            ┌────────────────── [प्रतिलोम फलन मान] ──────────────────┐
            │                                                       │
  [समूह 1: परिसर [-π/2, π/2]]                             [समूह 2: परिसर [0, π]]
  (यहाँ ऋणात्मक इनपुट पर उत्तर ऋणात्मक होगा)               (यहाँ ऋणात्मक इनपुट पर उत्तर π - θ होगा)
  - sin⁻¹x                                                - cos⁻¹x
  - tan⁻¹x                                                - cot⁻¹x
  - cosec⁻¹x                                              - sec⁻¹x

विद्यार्थी इसमें कहाँ गलती करते हैं?

ऋणात्मक तर्कों (Negative Arguments) को हल करते समय सबसे अधिक त्रुटियां होती हैं । विद्यार्थी बहुधा यह भूल जाते हैं कि कोसाइन, सेकेंट और कोटैन्जेंट के प्रतिलोम कभी भी ऋणात्मक कोण नहीं दे सकते ।

गलत विचार:  cos⁻¹(-1/2) = -cos⁻¹(1/2) = -π/3  (यह सीमा [0, π] के बाहर है!) 
सही विचार:  cos⁻¹(-1/2) = π - cos⁻¹(1/2) = π - π/3 = 2π/3  (यह बिल्कुल सही है) 

12. ग्राफ आधारित सम्पूर्ण अध्ययन

ग्राफ को समझना और उनका मानसिक चित्रण करना गणितीय समस्याओं को शीघ्र हल करने की कुंजी है।

• $\sin^{-1}x$ का ग्राफ: यह मूल बिंदु $(0, 0)$ के प्रति सममित (Symmetric) है। यदि हम इसे घुमाएँ, तो यह $180^\circ$ पर समान दिखाई देगा, जो इसके विषम फलन (Odd Function) होने की पुष्टि करता है ।
• $\cos^{-1}x$ का ग्राफ: यह ग्राफ $y$-अक्ष पर ऊपर की ओर खिसका हुआ है। यह $y$-अक्ष को $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ पर काटता है, जिससे स्पष्ट है कि धनात्मक मानों के लिए कोण न्यूनकोण और ऋणात्मक मानों के लिए अधिककोण होते हैं।
• $\tan^{-1}x$ का ग्राफ: यह एक क्षैतिज सर्पिलाकार वक्र है जो $y = \pm \frac{\pi}{2}$ की अदृश्य सीमाओं के मध्य हमेशा के लिए फैला हुआ है।
• $\cot^{-1}x$ का ग्राफ: यह वक्र $y = \pi$ से शुरू होकर $y = 0$ की ओर गिरता है, परंतु कभी भी इन सीमाओं को छू नहीं पाता।
• $\sec^{-1}x$ और $\csc^{-1}x$ के ग्राफ: इनके आलेखों के मध्य $-1$ और $1$ के बीच एक विशाल ‘शून्य क्षेत्र’ (Gap) होता है क्योंकि इनके डोमेन में इस अंतराल की कोई भी संख्या शामिल नहीं होती ।

13. महत्वपूर्ण गुणधर्म (प्रमाण सहित)

गुणधर्म 1: $\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} \quad \forall x \in [-1, 1]$

प्रमाण:

मान लीजिए:

$$\sin^{-1}x = \theta$$

चूंकि $x \in [-1, 1]$ और $\theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ , हम लिख सकते हैं:

$$\sin\theta = x$$

कक्षा 10 के पूरक कोण नियम (Complementary Angle Rule) से हम जानते हैं कि:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} – \theta\right) = \sin\theta$$

अतः:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} – \theta\right) = x$$

चूंकि $\theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, इसलिए:

$$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2} \\ -\frac{\pi}{2} \le -\theta \le \frac{\pi}{2} \\ 0 \le \frac{\pi}{2} – \theta \le \pi$$

चूंकि कोण $\left(\frac{\pi}{2} – \theta\right)$ कोसाइन की मुख्य मान शाखा $[0, \pi]$ के भीतर आता है , हम दोनों पक्षों का $\cos^{-1}$ ले सकते हैं:

$$\frac{\pi}{2} – \theta = \cos^{-1}x$$

अब $\theta$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:

$$\frac{\pi}{2} – \sin^{-1}x = \cos^{-1}x$$

$$\implies \sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}$$

(इति सिद्धम)

गुणधर्म 2: $\tan^{-1}x + \cot^{-1}x = \frac{\pi}{2} \quad \forall x \in \mathbb{R}$

प्रमाण:

मान लीजिए:

$$\tan^{-1}x = \theta \implies \tan\theta = x \quad $$जहाँ $$\theta \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$$

हम जानते हैं कि:

$$\cot\left(\frac{\pi}{2} – \theta\right) = \tan\theta = x$$

चूंकि $\theta \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, इसलिए $\left(\frac{\pi}{2} – \theta\right) \in (0, \pi)$, जो कोटैन्जेंट की मुख्य मान शाखा है ।

अतः:

$$\frac{\pi}{2} – \theta = \cot^{-1}x \\ \frac{\pi}{2} – \tan^{-1}x = \cot^{-1}x \\ $$ $$\implies \tan^{-1}x + \cot^{-1}x $$ $$= \frac{\pi}{2}$$

(इति सिद्धम)

14. सूत्रों की उत्पत्ति (Derivation of Formulas)

गणित में सूत्रों को रटने के स्थान पर उनकी उत्पत्ति को समझना वैचारिक स्पष्टता लाता है।

सूत्र: $2\tan^{-1}x = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) \quad \forall |x| \le 1$

कहाँ से आया?

यह सूत्र कक्षा 11 के द्वि-कोण ज्या सूत्र (Double-angle Sine Formula) से प्रेरित है:

$$\sin(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}$$

कैसे बना?

मान लीजिए:

$$\tan^{-1}x = \theta \implies x = \tan\theta$$

समीकरण के दाएँ पक्ष (RHS) में $x$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:

$$\text{RHS} = \sin^{-1}\left(\frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}\right)$$

$$\text{RHS} = \sin^{-1}(\sin 2\theta)$$

चूंकि $|x| \le 1$, इसलिए $-1 \le \tan\theta \le 1 \implies -\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{4}$।

अतः:

$$-\frac{\pi}{2} \le 2\theta \le \frac{\pi}{2}$$

चूंकि $2\theta$ साइन प्रतिलोम की मुख्य मान शाखा $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ के भीतर स्थित है , इसलिए $\sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta$ परिभाषित है।

अतः:

$$\text{RHS} = 2\theta = 2\tan^{-1}x = \text{LHS}$$

(इति सिद्धम)

15. NCERT उदाहरणों की अवधारणात्मक व्याख्या

उदाहरण 1: $\sin^{-1}\left(\sin\frac{3\pi}{5}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

सोचने की प्रक्रिया:

विद्यार्थी सर्वप्रथम सीधे $\frac{3\pi}{5}$ लिखने का प्रयास करते हैं। परंतु $\frac{3\pi}{5} = 108^\circ$, जो कि $\left[-90^\circ, 90^\circ\right]$ (अर्थात $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$) की सीमा के बाहर है । अतः हमें इसे द्वितीय चतुर्थांश के सूत्र $\sin(\pi – \theta) = \sin\theta$ का उपयोग करके न्यूनकोण में बदलना होगा।

हल:

$$\sin\left(\frac{3\pi}{5}\right) = \sin\left(\pi – \frac{2\pi}{5}\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)$$अब प्रतिस्थापित करने पर:$$\sin^{-1}\left(\sin\frac{3\pi}{5}\right) = \sin^{-1}\left(\sin\frac{2\pi}{5}\right)$$चूंकि $\frac{2\pi}{5} = 72^\circ \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, इसलिए निरसन संभव है:$$\sin^{-1}\left(\sin\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{2\pi}{5}$$

बोर्ड परीक्षा टिप: इस प्रकार के प्रश्नों में प्रयुक्त त्रिकोणमितीय सर्वसमिका और कोण की सीमा का उल्लेख अवश्य करें, जैसे: “चूंकि $\frac{2\pi}{5} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ है।”

16. प्रश्नावली 2.1 सम्पूर्ण समाधान (NCERT Exercise 2.1 Solutions)

यहाँ प्रश्नावली 2.1 के सभी 14 प्रश्नों का पूर्णतः विस्तृत और चरणबद्ध हल प्रस्तुत किया गया है ताकि परीक्षा में एक भी अंक न कटे ।

प्रश्न 1: $\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$

• सोचने की प्रक्रिया: हमें एक ऐसा कोण $y$ खोजना है जिसके लिए $\sin y = -\frac{1}{2}$ हो और $y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ हो ।
• हल:मान लीजिए:$$y = \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) \implies \sin y = -\frac{1}{2}$$ हम जानते हैं कि $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ है।चूंकि $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ होता है : $$\sin y = -\sin\frac{\pi}{6} = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$$ हम जानते हैं कि $\sin^{-1}$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ होता है ।चूंकि $-\frac{\pi}{6} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ है, अतः मुख्य मान $-\frac{\pi}{6}$ है ।

प्रश्न 2: $\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

• सोचने की प्रक्रिया: हमें वह कोण ज्ञात करना है जिसका कोसाइन $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है और वह कोण $[0, \pi]$ के मध्य है ।
• हल:मान लीजिए:$$y = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \implies \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ हम जानते हैं कि $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।चूंकि $\frac{\pi}{6} \in [0, \pi]$ है , अतः मुख्य मान $\frac{\pi}{6}$ है ।

प्रश्न 3: $\csc^{-1}(2)$

• सोचने की प्रक्रिया: $\csc y = 2 \implies \sin y = \frac{1}{2}$।
• हल:मान लीजिए:$$y = \csc^{-1}(2) \implies \csc y = 2$$ हम जानते हैं कि $\csc\frac{\pi}{6} = 2$ है ।चूंकि $\csc^{-1}$ की मुख्य शाखा का परिसर $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] – \{0\}$ होता है ।चूंकि $\frac{\pi}{6}$ इस परिसर में स्थित है, अतः मुख्य मान $\frac{\pi}{6}$ है ।

प्रश्न 4: $\tan^{-1}(-\sqrt{3})$

• सोचने की प्रक्रिया: स्पर्शज्या ऋणात्मक है, अतः मुख्य कोण चतुर्थ चतुर्थांश (ऋणात्मक दिशा) में होगा ।
• हल:मान लीजिए:$$y = \tan^{-1}(-\sqrt{3}) \implies \tan y = -\sqrt{3}$$ हम जानते हैं कि $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ है।$$\tan y = -\tan\frac{\pi}{3} = \tan\left(-\frac{\pi}{3}\right)$$ चूंकि $\tan^{-1}$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ होता है, और $-\frac{\pi}{3}$ इसके अंतर्गत है, अतः मुख्य मान $-\frac{\pi}{3}$ है ।

प्रश्न 5: $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$

• सोचने की प्रक्रिया: कोसाइन ऋणात्मक है, अतः उत्तर द्वितीय चतुर्थांश $(\pi – \theta)$ में होगा ।
• हल:मान लीजिए:$$y = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) $$ $$\implies \cos y = -\frac{1}{2}$$ हम जानते हैं कि $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ है।$$\cos y = -\cos\frac{\pi}{3} = \cos\left(\pi – \frac{\pi}{3}\right) $$ $$= \cos\frac{2\pi}{3}$$ चूंकि $\cos^{-1}$ का परिसर $[0, \pi]$ है और $$\frac{2\pi}{3} \in [0, \pi]$$ है, अतः मुख्य मान $\frac{2\pi}{3}$ है ।

प्रश्न 6: $\tan^{-1}(-1)$

• हल:मान लीजिए $y = \tan^{-1}(-1) \implies \tan y = -1 $$ $$= -\tan\frac{\pi}{4} $$ $$= \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)$ ।चूंकि $-\frac{\pi}{4} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ है, अतः मुख्य मान $-\frac{\pi}{4}$ है ।

प्रश्न 7: $\sec^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$

• हल:मान लीजिए $y = \sec^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \implies \sec y = \frac{2}{\sqrt{3}}$।हम जानते हैं कि $\sec\frac{\pi}{6} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है ।चूंकि $\frac{\pi}{6} \in [0, \pi] – \left\{\frac{\pi}{2}\right\}$ है , अतः मुख्य मान $\frac{\pi}{6}$ है।

प्रश्न 8: $\cot^{-1}(\sqrt{3})$

• हल:मान लीजिए $y = \cot^{-1}(\sqrt{3}) \implies \cot y = \sqrt{3}$।हम जानते हैं कि $\cot\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$ है ।चूंकि $\frac{\pi}{6} \in (0, \pi)$ है , अतः मुख्य मान $\frac{\pi}{6}$ है ।

प्रश्न 9: $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

• हल:मान लीजिए $y = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $$ $$\implies \cos y = -\frac{1}{\sqrt{2}} $$ $$ = -\cos\frac{\pi}{4} = \cos\left(\pi – \frac{\pi}{4}\right) $$ $$= \cos\frac{3\pi}{4}$ ।चूंकि $\frac{3\pi}{4} \in [0, \pi]$ है , अतः मुख्य मान $\frac{3\pi}{4}$ है ।

प्रश्न 10: $\csc^{-1}(-\sqrt{2})$

• हल:मान लीजिए $y = \csc^{-1}(-\sqrt{2}) $$ $$ \implies \csc y = -\sqrt{2} $$ $$= -\csc\frac{\pi}{4} $$ $$= \csc\left(-\frac{\pi}{4}\right)$ ।चूंकि $-\frac{\pi}{4} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] – \{0\}$ है , अतः मुख्य मान $-\frac{\pi}{4}$ है 。

प्रश्न 11: $\tan^{-1}(1) + \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) + \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए

।

• हल:प्रत्येक पद को अलग-अलग हल करने पर:
  1. $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$ $\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$
  तीनों को जोड़ने पर:$$\text{व्यंजक} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} – \frac{\pi}{6}$$ लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) $12$ लेने पर: व्यंजक $$ = \frac{3\pi + 8\pi – 2\pi}{12} = \frac{9\pi}{12}$$ $$ = \frac{3\pi}{4}$$ उत्तर: $\frac{3\pi}{4}$

प्रश्न 12: $\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + 2\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$

• हल:हम जानते हैं कि $\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$ और $\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ 。$$\text{मान} = \frac{\pi}{3} + 2\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} $$ $$= \frac{2\pi}{3}$$ उत्तर: $\frac{2\pi}{3}$

प्रश्न 13: यदि $\sin^{-1}x = y$, तो:

(A) $0 \le y \le \pi$

(B) $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$

(C) $0 < y < \pi$

(D) $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$

• उत्तर: मुख्य मान परिसर की परिभाषा से $\sin^{-1}x = y \implies y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ । अतः विकल्प (B) सत्य है 。

प्रश्न 14: $\tan^{-1}\sqrt{3} – \sec^{-1}(-2)$ का मान बराबर है:

(A) $\pi$

(B) $-\frac{\pi}{3}$

(C) $\frac{\pi}{3}$

(D) $\frac{2\pi}{3}$

• हल:हम जानते हैं कि $\tan^{-1}\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$ ।तथा $\sec^{-1}(-2) = \pi – \sec^{-1}(2) $$ $$= \pi – \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ ।अतः:$$\tan^{-1}\sqrt{3} – \sec^{-1}(-2) $$ $$= \frac{\pi}{3} – \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$$ अतः विकल्प (B) सही है 。

17. प्रश्नावली 2.2 सम्पूर्ण समाधान (NCERT Exercise 2.2 Solutions)

यहाँ नवीनतम युक्तिसंगत बोर्ड पाठ्यक्रम के आधार पर सभी मूलभूत प्रश्नों का विस्तृत हल दिया जा रहा है 。

प्रश्न 1: सिद्ध कीजिए $3\sin^{-1}x = \sin^{-1}(3x – 4x^3) \quad $$ $$\forall x \in \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$

• सोचने की प्रक्रिया: सूत्र $3x – 4x^3$ हमें $\sin 3\theta$ की याद दिलाता है। हम $x = \sin\theta$ प्रतिस्थापित करेंगे।
• हल:मान लीजिए $\sin^{-1}x = \theta \implies x = \sin\theta$।दायाँ पक्ष (RHS) लेने पर:$$\text{RHS} $$ $$= \sin^{-1}(3x – 4x^3) \\ = \sin^{-1}(3\sin\theta – 4\sin^3\theta)$$हम जानते हैं कि $3\sin\theta – 4\sin^3\theta = \sin 3\theta$ है।$$\text{RHS} = \sin^{-1}(\sin 3\theta)$$ चूंकि $x \in \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] $$ $$\implies \theta \in \left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right] $$ $$\implies 3\theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ ।अतः निरसन वैध है:$$\text{RHS} = 3\theta = 3\sin^{-1}x = \text{LHS}$$(इति सिद्धम)

प्रश्न 2: सिद्ध कीजिए $3\cos^{-1}x = \cos^{-1}(4x^3 – 3x) \quad \forall x \in \left[\frac{1}{2}, 1\right]$

• हल:मान लीजिए $\cos^{-1}x = \theta \implies x = \cos\theta$।दायाँ पक्ष (RHS) लेने पर:$\text{RHS} = \cos^{-1}(4x^3 – 3x) \\ $$ $$= \cos^{-1}(4\cos^3\theta – 3\cos\theta)$ हम जानते हैं कि $4\cos^3\theta – 3\cos\theta = \cos 3\theta$ है। $\text{RHS} = \cos^{-1}(\cos 3\theta)$ चूंकि $x \in \left[\frac{1}{2}, 1\right] \implies \theta \in \left[0, \frac{\pi}{3}\right] $$ $$\implies 3\theta \in [0, \pi]$।अतः निरसन संभव है: $\text{RHS} = 3\theta = 3\cos^{-1}x = \text{LHS}$(इति सिद्धम)

प्रश्न 3: सरलतम रूप में लिखिए: $\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right) \quad (x \neq 0)$

• सोचने की प्रक्रिया: जब भी व्यंजक में $1+x^2$ हो, मानक प्रतिस्थापन $x = \tan\theta$ होता है ताकि सर्वसमिका $1+\tan^2\theta = \sec^2\theta$ का उपयोग हो सके।
• हल:मान लीजिए $x = \tan\theta \implies \theta = \tan^{-1}x$।व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:$$\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\tan^2\theta}-1}{\tan\theta}\right) \\ $$ $$= \tan^{-1}\left(\frac{\sec\theta-1}{\tan\theta}\right)$$इसे साइन और कोसाइन में बदलने पर:$$= \tan^{-1}\left(\frac{\frac{1}{\cos\theta}-1}{\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}\right) $$$$ = \tan^{-1}\left(\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}\right)$$हम जानते हैं कि अर्ध-कोण सूत्र से: $1-\cos\theta $ $$= 2\sin^2\frac{\theta}{2}$$ और $$\sin\theta = 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}।$$ $$= \tan^{-1}\left(\frac{2\sin^2\frac{\theta}{2}}{2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}\right)$$ $$ = \tan^{-1}\left(\tan\frac{\theta}{2}\right) $$ $$= \frac{\theta}{2}$$ $\theta$ का मान रखने पर: $$= \frac{1}{2}\tan^{-1}x$$उत्तर: $\frac{1}{2}\tan^{-1}x$

प्रश्न 4: सरलतम रूप में लिखिए: $\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right) \quad (|x| > 1)$

• हल:मान लीजिए $x = \sec\theta \implies \theta = \sec^{-1}x$। $\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{\sec^2\theta-1}}\right) $ $= \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{\tan^2\theta}}\right) \\ $ $= \tan^{-1}\left(\cot\theta\right) $ $= \tan^{-1}\left(\tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right) \\ $ $= \frac{\pi}{2} – \theta $ $= \frac{\pi}{2} – \sec^{-1}x $ $ = \csc^{-1}x$$ उत्तर: $\csc^{-1}x$ (या $\frac{\pi}{2} – \sec^{-1}x$)

प्रश्न 5: सरलतम रूप में लिखिए: $\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right) \quad (0 < x < \pi)$

• हल:अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करने पर:$$1-\cos x = 2\sin^2\frac{x}{2} $$ और $$ 1+\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$$ $$\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{2\sin^2(x/2)}{2\cos^2(x/2)}}\right) $$ $$= \tan^{-1}\left(\sqrt{\tan^2\frac{x}{2}}\right)$$$$= \tan^{-1}\left(\tan\frac{x}{2}\right) = \frac{x}{2}$$ उत्तर: $\frac{x}{2}$

प्रश्न 6: सरलतम रूप में लिखिए: $\tan^{-1}\left(\frac{\cos x – \sin x}{\cos x + \sin x}\right) \quad \left(-\frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{4}\right)$

• सोचने की प्रक्रिया: अंश और हर दोनों को $\cos x$ से विभाजित करने पर भीतर $\tan(A-B)$ का रूप प्राप्त होगा।
• हल:$$\tan^{-1}\left(\frac{\frac{\cos x}{\cos x} – \frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\cos x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x}}\right) $$ $$= \tan^{-1}\left(\frac{1 – \tan x}{1 + \tan x}\right)$$हम जानते हैं कि $1 = \tan\frac{\pi}{4}$ है:$$= \tan^{-1}\left(\frac{\tan\frac{\pi}{4} – \tan x}{1 + \tan\frac{\pi}{4}\tan x}\right) $$ $$ = \tan^{-1}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right) \\$$ $$ = \frac{\pi}{4} – x$$ उत्तर: $\frac{\pi}{4} – x$

प्रश्न 7: सरलतम रूप में लिखिए: $\tan^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\right) \quad (|x| < a)$

• हल:यहाँ चर के साथ अचर $a$ है, अतः हम $x = a\sin\theta $$ $$\implies \sin\theta = \frac{x}{a} $$ $$ \implies \theta = \sin^{-1}\frac{x}{a}$ प्रतिस्थापित करेंगे।$$\tan^{-1}\left(\frac{a\sin\theta}{\sqrt{a^2-a^2\sin^2\theta}}\right) $$ $$= \tan^{-1}\left(\frac{a\sin\theta}{a\sqrt{1-\sin^2\theta}}\right) \\ $$ $$= \tan^{-1}\left(\frac{a\sin\theta}{a\cos\theta}\right) $$ $$= \tan^{-1}\left(\tan\theta\right) $$ $$= \theta = \sin^{-1}\frac{x}{a}$$उत्तर: $\sin^{-1}\frac{x}{a}$

18. बोर्ड परीक्षा में अक्सर पूछे जाने वाले महत्वपूर्ण प्रश्न

विगत वर्षों के बोर्ड प्रश्नपत्रों के विश्लेषण से पता चलता है कि दीर्घ उत्तरीय प्रश्न प्रायः सिद्ध करने वाले प्रभागों से आते हैं 。

अति लघु उत्तरीय प्रश्न (1 – 2 अंक)

1. $\sin\left(\frac{\pi}{3} – \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।
   • उत्तर संकेत: $\sin^{-1}(-1/2) = -\pi/6$ । व्यंजक बनता है $\sin(\pi/3 + \pi/6) = \sin(\pi/2) = 1$।
2. $\tan^{-1}(1) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ का मान निकालिए।
   • उत्तर संकेत: $\tan^{-1}\left(\frac{1 + 1/3}{1 – 1/3}\right) = \tan^{-1}(2)$।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (5 अंक)

1. सिद्ध कीजिए: $\tan^{-1}\left(\frac{x-1}{x-2}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{x+1}{x+2}\right) $$ $$= \frac{\pi}{4}$ तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।
   • उत्तर संकेत: $\tan^{-1}A + \tan^{-1}B = \frac{\pi}{4} $$ $$\implies \frac{A+B}{1-AB} = \tan\frac{\pi}{4} = 1$। समीकरण को हल करने पर $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

19. प्रतियोगी परीक्षाओं हेतु विशेष अनुभाग (JEE Main/Advanced/NDA/CUET)

प्रतियोगी परीक्षाओं में प्रश्नों का प्रारूप केवल सूत्रों तक सीमित नहीं रहता, बल्कि वे फलनों की सीमाओं और अद्वितीय डोमेन प्रतिबंधों पर आधारित होते हैं ।

JEE Main: समीकरणों के हलों की संख्या (Number of Solutions)

JEE Main में अक्सर पूछा जाता है: “समीकरण $\sin^{-1}x = 2\cos^{-1}x$ के वास्तविक हलों की संख्या क्या है?”

• हल तकनीक: हम जानते हैं कि $\cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} – \sin^{-1}x$ ।अतः:$$\sin^{-1}x = 2\left(\frac{\pi}{2} – \sin^{-1}x\right) $$ $$\implies 3\sin^{-1}x = \pi $$ $$\implies \sin^{-1}x $$ $$ = \frac{\pi}{3}$$ चूंकि $\frac{\pi}{3} \approx 1.047$, जो कि $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ के अंतर्गत है, अतः $x = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ एक अद्वितीय हल है । वास्तविक हलों की संख्या 1 है।

JEE Advanced: असमिकाएँ (ITF Inequalities)

Advanced परीक्षाओं में असमिकाओं को हल करना होता है, जैसे: $\left(\sin^{-1}x\right)^2 – 3\sin^{-1}x + 2 > 0$।

• हल करने की विधि: मान लीजिए $\sin^{-1}x = t$ जहाँ $t \in [-\pi/2, \pi/2]$ ।$t^2 – 3t + 2 > 0 $$ $$\implies (t-1)(t-2) > 0 $$ $$\implies t < 1$ या $t > 2$ 。चूंकि $t$ का मान कभी $2$ से बड़ा नहीं हो सकता (अधिकतम मान $\pi/2 \approx 1.57$ है) , अतः केवल $t < 1$$ $$ \implies \sin^{-1}x < 1$ मान्य है।चूंकि $\sin^{-1}x$ एक वर्धमान फलन है, अतः $x < \sin(1)$।डोमेन $[-1, 1]$ को ध्यान में रखते हुए अंतिम हल अंतराल $x \in [-1, \sin(1))$ होगा 。

20. विद्यार्थियों की 25 सामान्य गलतियाँ (The 25 Common Mistakes)

एक शिक्षक के रूप में कॉपियों के मूल्यांकन के दौरान पाई गई 25 सबसे आम वैचारिक गलतियों की सूची नीचे दी जा रही है:

1. फलन निरसन में भूल: $\sin^{-1}(\sin 3) = 3$ लिखना। (त्रुटि: $3$ रेडियन $\approx 171^\circ$ है जो $[-\pi/2, \pi/2]$ में नहीं आता) ।
2. समरूपता नियम का गलत अनुप्रयोग: $\cos^{-1}(-x) = -\cos^{-1}x$ मानना ।
3. कोसाइन की ऋणात्मकता उपेक्षा: $\cos^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$ लिखना ।
4. व्युत्क्रम और प्रतिलोम में भ्रम: $\tan^{-1}x$ को $\frac{\cos x}{\sin x}$ समझना।
5. टैन्जेंट परिसर में बंद अंतराल लगाना: $\tan^{-1}x$ का परिसर $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ मानना (सही: विवृत अंतराल) ।
6. डोमेन का ध्यान न रखना: $\sin^{-1}(3)$ का मान ज्ञात करने का प्रयास करना ।
7. द्विघात समीकरणों में अमान्य हलों को स्वीकार करना: जैसे हल में $x = 2$ आना परंतु $\sin^{-1}$ होने के कारण उसे छोड़ना भूल जाना।
8. कोटैन्जेंट परिसर भ्रम: $\cot^{-1}x$ का परिसर $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ मानना (सही: $(0, \pi)$) ।
9. मुख्य शाखा के बाहर सीधे सूत्रों का योग करना: जैसे बिना प्रतिबंध जाँचे $\tan^{-1}x + \tan^{-1}y$ का सूत्र लगाना ।
10. सेकेंट प्रतिलोम में अपरिभाषित बिंदु भूलना: $\sec^{-1}x$ के परिसर में $\pi/2$ को शामिल रखना ।
11. कोसीकेंट प्रतिलोम में शून्य शामिल करना: $\csc^{-1}x$ के परिसर में $0$ को न हटाना ।
12. त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन में त्रुटि: $\sqrt{x^2-1}$ होने पर $x = \sin\theta$ रखना (सही: $x = \sec\theta$)।
13. अचर राशियों का रूपांतरण भूलना: जैसे $a^2-x^2$ होने पर $x = \sin\theta$ रखना (सही: $x = a\sin\theta$)।
14. ज्यामितीय चतुर्थांश भ्रम: ऋणात्मक कोणों को हमेशा तीसरे चतुर्थांश में ढूँढना।
15. $\tan^{-1}(1/x) = \cot^{-1}x$ का आँख मूँदकर प्रयोग: यह केवल $x > 0$ के लिए सत्य है ।
16. पूरक संबंधों का गलत योग: $\sin^{-1}x + \cos^{-1}y = \pi/2$ मान लेना जब $x \neq y$ हो।
17. घातों का भ्रम: $\sin^{-2}x$ को $\sin^{-1}(\sin^{-1}x)$ समझना।
18. ग्राफ की सीमाओं का उल्लंघन: $\sin^{-1}x$ के आलेख को $x = 1$ के आगे भी खींच देना।
19. अवकलन सूत्रों में चिह्न त्रुटि: $\cos^{-1}x$ के अवकलज में ऋण चिह्न भूल जाना।
20. निश्चित समाकलन में सीमा न बदलना: त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन करने के बाद समाकलन की सीमाओं को पुराने चर के अनुसार ही रखना।
21. अति-सरलीकरण: $\sqrt{1-\sin^2x}$ को हमेशा $\cos x$ लिखना बिना यह जाँचे कि $x$ किस चतुर्थांश में है।
22. बहु-मान हल लिखना: मुख्य मान पूछे जाने पर सामान्य हल $n\pi + (-1)^n\theta$ लिखना।
23. अनंतस्पर्शी बिंदुओं पर वक्र को छूना: $\tan^{-1}x$ के ग्राफ को $y = \pi/2$ की रेखा से स्पर्श करा देना।
24. रेडियन और डिग्री में भ्रम: बोर्ड परीक्षा में उत्तर $30^\circ$ लिखना जबकि मानक उत्तर रेडियन में $\frac{\pi}{6}$ अपेक्षित है 。
25. सह-फलन सूत्रों का भ्रम: $\sin^{-1}x + \csc^{-1}x = \pi/2$ मानना (सही: $\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \pi/2$) ।

21. वास्तविक जीवन में उपयोग (Real Life Applications)

सर्वेक्षण (Surveying)

सिविल सर्वेक्षक थियोडोलाइट (Theodolite) यंत्र की सहायता से दो ऊँचे पहाड़ों के बीच की क्षैतिज दूरी और ऊँचाई मापते हैं 。 इसके बाद वे ढाल कोण की सटीक गणना $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\Delta h}{d}\right)$ सूत्र से करते हैं।

वास्तुकला (Architecture)

गोथिक शैली के चर्चों और आधुनिक खेल स्टेडियमों के विशाल गुंबदों के झुकाव कोणों को निर्धारित करने में वास्तुकलाविद् प्रतिलोम कोसाइन सूत्रों का उपयोग करते हैं ताकि गुरुत्वाकर्षण का केंद्र संतुलित रहे 。

नौवहन (Navigation) और उपग्रह विज्ञान (Satellite Science)

समुद्र में जहाजों को दिशा दिखाने वाले रडार और अंतरिक्ष में कृत्रिम उपग्रहों के ग्राउंड स्टेशनों के एंटीना के घूर्णन कोण का नियमन स्वचालित रूप से प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की गणना द्वारा ही कंप्यूटर प्रणालियों के माध्यम से किया जाता है 。

22. कलन (Calculus) में उपयोग

अवकलन (Differentiation)

अवकलन में प्रतिस्थापन विधियाँ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के बिना अधूरी हैं। उदाहरण के लिए, यदि हमें $y = \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ का अवकलज ज्ञात करना हो, तो सीधे श्रृंखला नियम (Chain Rule) के स्थान पर $x = \tan\theta$ रखकर इसे $y = 2\tan^{-1}x$ में बदलना अवकलन को अत्यंत सरल बना देता है।

समाकलन (Integration)

कई महत्वपूर्ण समाकलन रूप सीधे तौर पर प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज हैं:

$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$$

$$\int \frac{1}{a^2+x^2} dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$$

23. त्वरित पुनरावृत्ति नोट्स (Quick Revision Notes)

┌────────────────────────────────────────────────────────┐
│                  क्विक रिवीजन बॉक्स                   │
├────────────────────────────────────────────────────────┤
│ 1. मुख्य मान परिसर याद रखें:                           │
│    - [-π/2, π/2] समूह: sin⁻¹, tan⁻¹ (विवृत), cosec⁻¹   │
│    - [0, π] समूह: cos⁻¹, cot⁻¹ (विवृत), sec⁻¹          │
│ 2. ऋणात्मक नियमों का त्वरित अनुप्रयोग:                 │
│    - sin⁻¹(-x) = -sin⁻¹x                               │
│    - cos⁻¹(-x) = π - cos⁻¹x                            │
│ 3. पूरक योग: sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2                     │
└────────────────────────────────────────────────────────┘

5 मिनट की पुनरावृत्ति रणनीति

सभी छह प्रतिलोम फलनों के प्रांत (Domain) और परिसर (Range) की तुलनात्मक सारणी को ध्यान से देखें 。

15 मिनट की पुनरावृत्ति रणनीति

पूरक योग के प्रमाणों और $\tan^{-1}x + \tan^{-1}y$ के सूत्रों के निर्माण की प्रक्रिया को एक बार रफ कॉपी में लिखकर दोहराएं 。

24. सम्पूर्ण अध्याय का मानसिक मानचित्र

                            [प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन]
                                        │
      ┌─────────────────────────────────┴─────────────────────────────────┐
      ▼                                                                   ▼
 [गणितीय आधार]                                                       [गुणधर्म एवं सूत्र]
  - एक-एकी प्रतिबंध                                                   - पूरक योग (π/2) 
  - प्रांत/परिसर                                                - ऋणात्मक कोण रूपांतरण 
  - मुख्य मान शाखा                                              - अर्ध-कोण प्रतिस्थापन

25. निष्कर्ष:

क्या याद रखना है?

यह कभी न भूलें कि प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का मान सदैव एक कोण (रेडियन में) प्रदर्शित करता है । जब भी भ्रम हो, समीकरण को साधारण त्रिकोणमितीय रूप में बदल लें ।

मेरा अंतिम सलाह

बोर्ड परीक्षा में रटने की आदत से बचें। विशेषकर उन प्रश्नों को ध्यान से देखें जहाँ कोण मुख्य शाखा के बाहर दिए गए हैं । अपनी उत्तर पुस्तिका में स्पष्ट रेखाचित्र और गणितीय प्रतिबंधों को लिखने से आपको शत-प्रतिशत अंक प्राप्त होंगे ।

FAQ:

26. अभ्यास हेतु 100 महत्वपूर्ण प्रश्नों का हल सहित सेट (100 Important Practice Questions with solution)

स्वयं की तैयारी को आंकने के लिए इन 100 चुनिंदा प्रश्नों को हल करने का अभ्यास करें।

प्रभाग अ: बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs) – प्रश्न 1 से 25

1. $\sin^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ का मुख्य मान क्या है?
   • (A) $\frac{\pi}{3}$ (B) $-\frac{\pi}{3}$ (C) $\frac{2\pi}{3}$ (D) $-\frac{\pi}{6}$
2. फलन $\cos^{-1}(2x – 1)$ का प्रांत क्या है?
   • (A) $$ (B) $[-1, 1]$ (C) $\mathbb{R}$ (D) $[0, \pi]$
3. $\tan^{-1}\left(\tan\frac{3\pi}{4}\right)$ का मान है:
   • (A) $\frac{3\pi}{4}$ (B) $\frac{\pi}{4}$ (C) $-\frac{\pi}{4}$ (D) $\frac{7\pi}{4}$
4. $\sin\left(\cos^{-1}\frac{3}{5}\right)$ का मान क्या है?
   • (A) $\frac{3}{5}$ (B) $\frac{4}{5}$ (C) $\frac{5}{4}$ (D) $-\frac{4}{5}$
5. $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) + \sin^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ का मान है :
   • (A) $\frac{\pi}{3}$ (B) $\pi$ (C) $0$ (D) $\frac{2\pi}{3}$
6. यदि $\tan^{-1}x = y$, तो:
   • (A) $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$ (B) $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$ (C) $0 \le y \le \pi$ (D) $0 < y < \pi$
7. $\cot\left(\tan^{-1}x + \cot^{-1}x\right)$ का मान है:
   • (A) $0$ (B) $1$ (C) $\infty$ (D) अपरिभाषित
8. $\sin^{-1}x$ का महत्तम मान क्या है?
   • (A) $\pi$ (B) $\frac{\pi}{2}$ (C) $1$ (D) $2\pi$
9. यदि $\sin^{-1}x + \sin^{-1}y = \pi$, तो $x^2 + y^2$ का मान होगा:
   • (A) $1$ (B) $2$ (C) $0$ (D) $4$
10. $\sec^{-1}(-2)$ का मुख्य मान क्या है?
    • (A) $-\frac{\pi}{3}$ (B) $\frac{2\pi}{3}$ (C) $\frac{4\pi}{3}$ (D) $\frac{\pi}{3}$
11. $\sin\left(\frac{\pi}{2} – \sin^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)$ का मान है:
    • (A) $\frac{1}{2}$ (B) $-\frac{1}{2}$ (C) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (D) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
12. फलन $\tan^{-1}\sqrt{x^2-1}$ का प्रांत है:
    • (A) $[-1, 1]$ (B) $\mathbb{R} – (-1, 1)$ (C) $\mathbb{R}$ (D) $(0, \infty)$
13. $\cos^{-1}\left(\cos\frac{13\pi}{6}\right)$ का मान है:
    • (A) $\frac{13\pi}{6}$ (B) $\frac{\pi}{6}$ (C) $-\frac{\pi}{6}$ (D) $\frac{5\pi}{6}$
14. यदि $\sin^{-1}x = \frac{\pi}{5}$ तो $\cos^{-1}x$ का मान होगा :
    • (A) $\frac{3\pi}{10}$ (B) $\frac{\pi}{10}$ (C) $\frac{2\pi}{5}$ (D) $\frac{\pi}{5}$
15. $\tan^{-1}(1) + \tan^{-1}(0)$ का मान है:
    • (A) $\frac{\pi}{4}$ (B) $\frac{\pi}{2}$ (C) $0$ (D) $\pi$
16. $\sec^{-1}x + \csc^{-1}x$ का मान जब $|x| \ge 1$ हो:
    • (A) $\pi$ (B) $\frac{\pi}{2}$ (C) $0$ (D) अपरिभाषित
17. $\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) + \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) + \tan^{-1}(-1)$ का मान है:
    • (A) $\frac{\pi}{4}$ (B) $\frac{\pi}{2}$ (C) $\frac{3\pi}{4}$ (D) $\frac{\pi}{12}$
18. फलन $\csc^{-1}x$ का मान क्षेत्र (Range) है :
    • (A) $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ (B) $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] – \{0\}$ (C) $(-\pi/2, \pi/2)$ (D) $[0, \pi]$
19. $\cos\left(\sin^{-1}\frac{1}{2} + \cos^{-1}\frac{1}{2}\right)$ का मान है:
    • (A) $1$ (B) $0$ (C) $\frac{1}{2}$ (D) $-1$
20. $\tan\left(\sin^{-1}\frac{3}{5}\right)$ का मान है:
    • (A) $\frac{3}{4}$ (B) $\frac{4}{3}$ (C) $\frac{3}{5}$ (D) $\frac{4}{5}$
21. $\sin^{-1}(\sin 10)$ का मान क्या होगा?
    • (A) $10$ (B) $10 – 3\pi$ (C) $3\pi – 10$ (D) $10 – 2\pi$
22. यदि $\tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \frac{\pi}{2}$, तो $xy$ का मान होगा :
    • (A) $1$ (B) $-1$ (C) $0$ (D) $\infty$
23. $\cos^{-1}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$ का मान है:
    • (A) $-\frac{\pi}{4}$ (B) $\frac{\pi}{4}$ (C) $\frac{3\pi}{4}$ (D) $\frac{5\pi}{4}$
24. फलन $\cot^{-1}x$ का आलेख $y$-अक्ष को किस बिंदु पर काटता है?
    • (A) $(0, 0)$ (B) $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ (C) $(0, \pi)$ (D) $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$
25. $\cos^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ का मुख्य मान है:
    • (A) $-\frac{\pi}{6}$ (B) $\frac{5\pi}{6}$ (C) $\frac{7\pi}{6}$ (D) $\frac{\pi}{6}$

प्रभाग ब: अति लघु उत्तरीय प्रश्न (2 अंक) – प्रश्न 26 से 50

26. $\tan^{-1}\left(\tan\frac{7\pi}{6}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।
27. सिद्ध कीजिए कि $\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1}x \quad \forall x \in [-1, 1]$ ।
28. यदि $\cos^{-1}x = \frac{\pi}{3}$, तो $x$ का मान निकालिए।
29. $\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) – 2\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ का मान परिकलित कीजिए ।
30. फलन $f(x) = \sin^{-1}(3x)$ का प्रांत ज्ञात कीजिए।
31. $\sec\left(\tan^{-1}\frac{4}{3}\right)$ का मान क्या होगा?
32. $\tan^{-1}\left(\frac{\sin x}{1+\cos x}\right)$ को सरल कीजिए ।
33. $\cot\left(\sin^{-1}x\right)$ का $x$ के पदों में मान ज्ञात कीजिए।
34. $\cos^{-1}\left(\cos\frac{5\pi}{3}\right)$ का मुख्य मान क्या है?
35. यदि $\sin^{-1}x + \cos^{-1}\frac{1}{3} = \frac{\pi}{2}$, तो $x$ का मान लिखिए ।
36. $\csc^{-1}(-\sqrt{2})$ का मान निकालिए 。
37. $\tan^{-1}(-1) + \cot^{-1}(-1)$ का मान क्या होगा?
38. $\sin\left(\tan^{-1}1\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।
39. फलन $y = \sec^{-1}(2x)$ का डोमेन ज्ञात कीजिए।
40. सिद्ध कीजिए कि $\tan^{-1}\frac{1}{2} + \tan^{-1}\frac{1}{3} = \frac{\pi}{4}$।
41. $\cos\left(2\sin^{-1}\frac{1}{2}\right)$ का मान निकालिए।
42. $\tan^{-1}\left(\sqrt{3}\right) – \cot^{-1}\left(-\sqrt{3}\right)$ का मान लिखिए।
43. $\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ को $\tan^{-1}$ के रूप में बदलिए।
44. $\cos^{-1}\left(\cos\frac{4\pi}{3}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।
45. यदि $\tan^{-1}x = \frac{\pi}{10}$, तो $\cot^{-1}x$ का मान क्या होगा?
46. $\sin\left(\sin^{-1}\frac{1}{4} + \cos^{-1}\frac{1}{4}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।
47. फलन $f(x) = \tan^{-1}(2x)$ का डोमेन और परिसर लिखिए।
48. $\sec^{-1}(2) – \csc^{-1}(-2)$ का मान परिकलित कीजिए।
49. $\sin^{-1}\left(\sin 2\right)$ का मान लिखिए (जहाँ कोण रेडियन में है)।
50. $\cos\left(\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$ का मान ज्ञात कीजिए ।

प्रभाग स: लघु उत्तरीय प्रश्न (3 – 4 अंक) – प्रश्न 51 से 75

51. सिद्ध कीजिए: $\sin^{-1}\frac{3}{5} – \sin^{-1}\frac{8}{17} = \cos^{-1}\frac{84}{85}$।
52. सिद्ध कीजिए: $\cos^{-1}\frac{12}{13} + \sin^{-1}\frac{3}{5} = \sin^{-1}\frac{56}{65}$।
53. सरलतम रूप में लिखिए: $\tan^{-1}\left(\frac{3a^2x – x^3}{a^3 – 3ax^2}\right)$।
54. समीकरण हल कीजिए: $\tan^{-1}(x+1) + \tan^{-1}(x-1) = \tan^{-1}\frac{8}{31}$।
55. सिद्ध कीजिए: $2\tan^{-1}\frac{1}{5} + \tan^{-1}\frac{1}{4} = \tan^{-1}\frac{32}{43}$।
56. यदि $\sin\left(\sin^{-1}\frac{1}{5} + \cos^{-1}x\right) = 1$, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।
57. सरलतम रूप में बदलिए: $\cos^{-1}\left(\frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2}}\right) \quad \left(-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}\right)$।
58. सिद्ध कीजिए: $\tan^{-1}\frac{1}{4} + \tan^{-1}\frac{2}{9} = \frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{4}{3}$।
59. यदि $\cos^{-1}x + \cos^{-1}y = \theta$, तो सिद्ध कीजिए कि $x^2 – 2xy\cos\theta + y^2 = \sin^2\theta$।
60. सिद्ध कीजिए: $\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x} – \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}\right) = \frac{\pi}{4} – \frac{1}{2}\cos^{-1}x$।
61. समीकरण $\tan^{-1}2x + \tan^{-1}3x = \frac{\pi}{4}$ के सभी वास्तविक हल ज्ञात कीजिए।
62. सिद्ध कीजिए: $2\sin^{-1}\frac{3}{5} = \tan^{-1}\frac{24}{7}$।
63. $\sin\left(2\tan^{-1}\frac{1}{3}\right) + \cos\left(\tan^{-1}\sqrt{8}\right)$ का मान निकालिए।
64. यदि $\tan^{-1}x + \tan^{-1}y + \tan^{-1}z = \pi$, तो सिद्ध कीजिए कि $x+y+z = xyz$।
65. फलन $f(x) = \sin^{-1}\sqrt{x-1}$ का प्रांत और परिसर ज्ञात कीजिए।
66. सिद्ध कीजिए: $\tan^{-1}\frac{1}{7} + \tan^{-1}\frac{1}{13} = \tan^{-1}\frac{2}{9}$।
67. $\cos\left(2\cos^{-1}x + \sin^{-1}x\right)$ का मान $x = \frac{1}{5}$ पर ज्ञात कीजिए।
68. सिद्ध कीजिए: $\cos^{-1}x = 2\sin^{-1}\sqrt{\frac{1-x}{2}}$।
69. $\tan\left(\frac{1}{2}\cos^{-1}\frac{\sqrt{5}}{3}\right)$ का मान निकालिए।
70. यदि $\sin^{-1}x + \sin^{-1}y = \frac{2\pi}{3}$, तो $\cos^{-1}x + \cos^{-1}y$ का मान ज्ञात कीजिए ।
71. सिद्ध कीजिए: $\tan^{-1}\left(\frac{1-x^2}{2x}\right) + \cot^{-1}\left(\frac{1-x^2}{2x}\right) = \frac{\pi}{2}$ ।
72. यदि $\tan^{-1}\frac{x-1}{x-2} + \tan^{-1}\frac{x+1}{x+2} = \frac{\pi}{4}$, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।
73. $\sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$ को $2\tan^{-1}x$ के रूप में व्यक्त करने के लिए आवश्यक डोमेन प्रतिबंधों की व्याख्या कीजिए।
74. सिद्ध कीजिए कि $\cos\left(\tan^{-1}\left(\sin\left(\cot^{-1}x\right)\right)\right) = \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+2}}$ 。
75. समीकरण $\sin^{-1}6x + \sin^{-1}6\sqrt{3}x = -\frac{\pi}{2}$ को हल कीजिए।

प्रभाग द: दीर्घ उत्तरीय एवं उच्च स्तरीय प्रश्न (HOTS) (5 – 6 अंक) – प्रश्न 76 से 100

76. यदि $\left(\sin^{-1}x\right)^2 + \left(\cos^{-1}x\right)^2 = \frac{5\pi^2}{8}$, तो $x$ का मान निकालिए।
77. सिद्ध कीजिए: $\tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\cos^{-1}\frac{a}{b}\right) $ $+ \tan\left(\frac{\pi}{4} – \frac{1}{2}\cos^{-1}\frac{a}{b}\right) $ $= \frac{2b}{a}$।
78. यदि $\cos^{-1}\frac{x}{a} + \cos^{-1}\frac{y}{b} = \alpha$, तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{x^2}{a^2} – \frac{2xy}{ab}\cos\alpha + \frac{y^2}{b^2} = \sin^2\alpha$।
79. समीकरण हल कीजिए: $\sin^{-1}(1-x) – 2\sin^{-1}x = \frac{\pi}{2}$।
80. श्रेणी $\tan^{-1}\frac{1}{3} + \tan^{-1}\frac{1}{7} + \tan^{-1}\frac{1}{13} + \dots $ $+ \tan^{-1}\frac{1}{1+n+n^2}$ का $n$ पदों तक योग ज्ञात कीजिए।
81. यदि $\tan^{-1}x + \tan^{-1}y + \tan^{-1}z = \frac{\pi}{2}$, तो सिद्ध कीजिए कि $xy + yz + zx = 1$।
82. यदि $\sin^{-1}x + \sin^{-1}y + \sin^{-1}z = \frac{3\pi}{2}$, तो $x^{100} + y^{100} + z^{100} – \frac{9}{x^{101}+y^{101}+z^{101}}$ का मान ज्ञात कीजिए।
83. समीकरण हल कीजिए: $\cot^{-1}x – \cot^{-1}(x+2) = 15^\circ$।
84. फलन $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+|x|}\right)$ का डोमेन और परिसर ज्ञात कीजिए।
85. यदि $a, b, c > 0$ इस प्रकार हैं कि $a+b+c = abc$, तो $\tan^{-1}a + \tan^{-1}b + \tan^{-1}c$ का मान निकालिए।
86. $\cos^{-1}x \ge \sin^{-1}x$ असमिका को हल कीजिए 。
87. यदि $y = \sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)$, तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x^2}$।
88. $\int \frac{\tan^{-1}x}{x^2} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
89. यदि $\sec^{-1}x = \csc^{-1}y$, तो $\cos^{-1}\frac{1}{x} $ $+ \cos^{-1}\frac{1}{y}$ का मान ज्ञात कीजिए 。
90. यदि $\cos^{-1}\sqrt{p} + \cos^{-1}\sqrt{1-p} $ $+ \cos^{-1}\sqrt{1-q} $ $ = \frac{3\pi}{4}$, तो $q$ का मान ज्ञात कीजिए।
91. यदि $\tan^{-1}\frac{1}{1+1\cdot 2} + \tan^{-1}\frac{1}{1+2\cdot 3} + \dots $ $ + \tan^{-1}\frac{1}{1+n(n+1)} = \tan^{-1}\theta$, तो $\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।
92. समीकरण $\cos^{-1}(x) – \sin^{-1}(x) = \cos^{-1}(x\sqrt{3})$ के वास्तविक हलों की संख्या ज्ञात कीजिए।
93. फलन $f(x) = \sqrt{\cos^{-1}x – \sin^{-1}x}$ का डोमेन ज्ञात कीजिए।
94. सिद्ध कीजिए कि $\tan^{-1}1 + \tan^{-1}2 + \tan^{-1}3 = \pi$।
95. यदि $a > b > 0$, तो $\tan^{-1}\left(\frac{a}{b}\right) – \tan^{-1}\left(\frac{a-b}{a+b}\right)$ का मान निकालिए।
96. $\cos\left[\frac{1}{2}\cos^{-1}\left(\frac{1}{8}\right)\right]$ का सटीक मान ज्ञात कीजिए।
97. समीकरण हल कीजिए: $\sin\left[2\cos^{-1}\left\{\cot\left(2\tan^{-1}x\right)\right\}\right] = 0$।
98. यदि $x = \tan\left(\frac{1}{2}\cos^{-1}\frac{a}{b}\right)$, तो सिद्ध कीजिए कि $bx^2 – 2ax + b = 0$।
99. सिद्ध कीजिए कि $\sin^{-1}\frac{12}{13} + \cos^{-1}\frac{4}{5} + \tan^{-1}\frac{63}{16} = \pi$।
100. यदि $\sin^{-1}x + \sin^{-1}y = \theta$ (जहाँ $-\pi/2 \le \theta \le \pi/2$ है), तो $\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right)^2$ का मान ज्ञात कीजिए 。

अभ्यास सेट कुंजी एवं संक्षिप्त संकेत (Practice Set Key & Hints)

विद्यार्थी अपने द्वारा हल किए गए प्रश्नों के उत्तरों का मिलान करने और कठिन प्रश्नों के समाधान हेतु इस सारणीबद्ध कुंजी का संदर्भ ले सकते हैं:

कक्षा 12th गणित के नवीनतम पाठ्यक्रम और पाठ्यपुस्तक के लिए, आप NCERT की आधिकारिक वेबसाइट पर जा सकते हैं।”

अर्जुन प्रजापति (Arjun Prajapati), Founder & Maths Educator – Ganit Speed। मैं गणित को सरल, स्पष्ट और रोचक तरीके से सिखाने का प्रयास करता हूँ, ताकि छात्र बिना डर के सीख सकें। 5+ वर्षों से मैं हजारों छात्रों को बोर्ड परीक्षाओं की तैयारी में मार्गदर्शन दे रहा हूँ और उपयोगी सामग्री साझा कर रहा हूँ।

Arjun prajapati